[論文レビュー] Diffeomorphism Groups of Compact 4-manifolds are not always Jordan

Balázs Csikós, László Pyber+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、特定のコンpakトな4次元多様体——具体的にはトーラス $T^2$ 上の非自明な $S^2$-バンドルの全空間——の微分同相群がジョルダン性質を満たさないことを示すことによって、Ghysの予想に対して反例を構成している。ホロモルフィックな構造を備えた複素線束とその自己同型群を用いて、任意に大きな最小アーベル部分群指数を持つ有限部分群を埋め込み、微分同相群が一様なジョルダン束をもたないことを証明している。

ABSTRACT

We show that if $M$ is a compact smooth manifold diffeomorphic to the total space of an orientable $S^2$ bundle over the torus $T^2$, then its diffeomorphism group does not have the Jordan property, i.e., Diff$(M)$ contains a finite subgroup $G_n$ for any natural number $n$ such that every abelian subgroup of $G_n$ has index at leat $n$. This gives a counterexample to an old conjecture of Ghys.

研究の動機と目的

• コンパクトな滑らかな多様体の微分同相群が常にジョルダン性質を満たすというGhysの予想を反証すること。
• ジョルダン性質を満たさないコンパクトな4次元多様体の具体的な例を構成すること。
• 特定の $T^2$ 上の $S^2$-バンドルに対して、その微分同相群が任意に大きなアーベル部分群指数を持つ有限部分群を含むことの証明。
• 特に、複素トーラス上のホロモルフィック線束の理論、とりわけMumfordの理論を用いて、球体バンドルの自己同型群を解析すること。
• 微分同相群 $Y_n$、すなわち $P(\xi_n \oplus \xi_0)$ の全空間の微分同相群が、$\mathcal{G}(\xi_n)$ に同型な部分群を含み、それらが基底となるトーラスからの非アーベル構造を引き継ぐことの確立。

提案手法

• 2次元トーラス $T^2$ 上の滑らかな複素線束を、その第一チャーン類 $c_1(\xi_n) = n \in \mathbb{Z}$ によって分類し、$\xi_n$ を $\xi_1$ の $n$ 乗テンソル積として特定する。
• 関連する射影線束 $Y_n = P(\xi_n \oplus \xi_0)$ を構成し、その全空間が $T^2$ 上の滑らかな $S^2$-バンドルであることを示す。
• $\xi_n$ にホロモルフィック構造を導入し、$T^2$ 上の平行移動による引き戻しを保つ部分群 $H(\xi_n)$ を定義する。
• $H(\xi_n)$ の元を被覆する双正則バンドル自己同型のなす群 $\mathcal{G}(\xi_n)$ を定義し、中心拡大 $0 \to \mathbb{C}^* \to \mathcal{G}(\xi_n) \to H(\xi_n) \to 0$ を得る。
• Mumfordの結果を用いて、$H(\xi_n) \cong K \oplus \hat{K}$ が成り立ち、$n > 0$ のとき $|H(\xi_n)| = n^2$ であることを示す。
• 有限部分群 $G_n \subset \mathcal{G}(\xi_n)$ を構成し、$\mathbb{Z}_{\sqrt{N}} \times (K \oplus \hat{K})$ に同型とし、$N = |H(\xi_n)| \geq n^2$ となるようにする。このとき、$G_n$ の任意のアーベル部分群の指数は少なくとも $n$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョルダン性質を満たさないコンパクトな滑らかな4次元多様体は存在するか？
• RQ2 $T^2$ 上の $S^2$-バンドルの全空間の微分同相群が、任意に大きな最小アーベル部分群指数を持つ有限部分群を含むことは可能か？
• RQ3 複素トーラス上のホロモルフィック線束の自己同型群の構造は何か？ そして、関連する球体バンドルの微分同相群とどのように関係するか？
• RQ4 すべてのコンパクトな滑らかな多様体の微分同相群がジョルダン性質を満たすというGhysの予想は、一般に正しいか？
• RQ5 楕円曲線上のホロモルフィック線束の代数的幾何学的性質は、微分同相群の群論的性質とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の $n > 0$ に対して、$T^2$ 上の $S^2$-バンドル $P(\xi_n \oplus \xi_0)$ の全空間 $Y_n$ の微分同相群はジョルダン性質を満たさない。
• $n > 0$ に対して、群 $\mathcal{G}(\xi_n)$ は、$G_n$ と同型な有限部分群を含み、$G_n$ の任意のアーベル部分群の指数は少なくとも $n$ である。
• $n > 0$ のとき $H(\xi_n)$ の位数は $n^2$ であり、$\mathcal{G}(\xi_n)$ は $|K| = n$ であるような $G_n \cong \mathbb{Z}_{n} \times (K \oplus \hat{K})$ に同型な有限部分群を含み、$|G_n| = n^3$ である。
• $G_n$ の任意のアーベル部分群の指数は少なくとも $n$ であり、この境界は、双正則自己同型群の文脈でZarhinの議論によって達成可能である。
• $Y_n$ の微分同相群は、すべての $m \equiv n \pmod{2}$ に対して $\mathcal{G}(\xi_m)$ に同型な部分群を含むため、自明および非自明な両方の $S^2$-バンドルにわたる反例が成立する。
• 本結果により、Ghysの予想に対する反例が得られ、コンパクト性だけでは、滑らかな多様体の微分同相群がジョルダン性質を満たすとは限らないことが示された。