[論文レビュー] Diffeomorphism groups of critical regularity

Sang-Hyun Kim, Thomas Koberda|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、円周および区間の微分同相群における臨界正則性 $\alpha$ における、有限生成部分群の同型型の連続体の存在を確立し、特定の群がより高い正則性の微分同相群に埋め込めないことを示している。これらの部分群が単純な交換子群を持つことを証明し、 Hölder連続性および分割性の性質を用いた動的および解析的技法により、滑らかでない性質の障害および埋め込み不可能性の結果を示している。

ABSTRACT

Let $M$ be the circle or a compact interval, and let $α=k+τ\ge1$ be a real number such that $k=\lfloor α floor$. We write $\mathrm{Diff}_+^α(M)$ for the group of $C^k$ diffeomorphisms of $M$ whose $k^{th}$ derivatives are Hölder continuous with exponent $τ$. If $α\ge1$, we prove that there exists a finitely generated subgroup $G_α\le\mathrm{Diff}_+^α(M)$ with the property that $G_α$ admits no injective homomorphisms into $\mathrm{Diff}_+^β(M)$ for all $β>α$. If $α>1$, we also show the dual result: there exists a finitely generated group $H_α\le\bigcap_{β

研究の動機と目的

• $M = S^1$ または $I$ に対して、臨界正則性 $\alpha$ における微分同相群 $\operatorname{Diff}_+^\alpha(M)$ 内の有限生成部分群の代数的構造を特定すること。
• このような部分群が、より高い正則性の微分同相群 $\bigcup_{\beta > \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$ に埋め込めるかどうかを調査すること。
• $\mathscr{G}^\alpha(M) \setminus \mathscr{G}^{\alpha+\varepsilon}(M)$ に可算な単純群が存在するかを探索し、それらが低い正則性の群に埋め込めないかを検討すること。
• 得られた結果を、codimension one 葉層の滑らかでない性質および連続的微分同相群間の準同型写像の構造に応用すること。
• $\operatorname{Diff}_+^1(M)$ の有限生成部分群のクラスが、有限自由積に関して閉じていないことを示すこと。

提案手法

• 確率的動的挙動と Slow Progress Lemma を用いて、$\operatorname{Diff}_+^{k,\tau}(I)$ の動的速い部分群を構成する。
• 分割性および $C^\infty$ 微分同相群の作用を用いて、交換子群の単純性を確立する。
• 凹型モジュラス $\mu$ を用いて、$\bigcap_{\beta < \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$ を $C^{k,\mu}$ 群の和集合として特徴付ける。
• Kopell の補題および Denjoy の定理を用いて、$\operatorname{Diff}_+^\alpha(M)_0$ における自明な中心およびアーベル商を示す。
• Mather の定理を活用して、特定の群が完全群であること、従って交換子群が単純であることの証明を行う。
• $\alpha \neq 2$ の場合に、$C^1$-安定性および性質 (T) からの障害結果を用いて、埋め込み不可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathscr{G}^k(M) \setminus \mathscr{G}^{k+1}(M)$ に $k \geq 1$ に対して有限生成群が存在するか？
• RQ2 $\alpha \geq 1$ に対して、$\mathscr{G}^\alpha(M) \setminus \mathscr{G}^{\alpha+\varepsilon}(M)$ に可算な単純群が存在するか？
• RQ3 $\alpha \neq 2$ の場合に、$\operatorname{Diff}_+^\alpha(S^1) \to \bigcup_{\beta > \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(S^1)$ に非自明な準同型写像が存在するか？
• RQ4 $\operatorname{Diff}_+^1(M)$ の有限生成部分群が、$\bigcup_{\beta > 1} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$ に埋め込めないことがあるか？
• RQ5 交換子群の単純性が、多様体上での群作用の滑らかでない性質を妨げる役割を果たすか？

主な発見

• 臨界正則性 $\alpha$ における $\operatorname{Diff}_+^\alpha(M)$ の部分群 $G$ として、$\bigcup_{\beta > \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$ に単射準同型写像をもたない同型型の連続体が存在する。
• $\bigcap_{\beta < \alpha} \operatorname{Diff}_+\beta(M)$ の部分群 $G$ として、$\operatorname{Diff}_+^\alpha(M)$ に単射準同型写像をもたない同型型の連続体が存在する。
• 構成された部分群の交換子群は単純であり、これが埋め込み不可能性および商の単純性の証明において中心的な役割を果たす。
• $\alpha \geq 1$ に対して、$\operatorname{Diff}_+^\alpha(S^1)_0$ は自明な中心を持ち、すべての真の商はアーベル群である。$\alpha \neq 2$ の場合、この群は単純である。
• $\alpha > 3$ の場合、$\bigcap_{\beta < \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(S^1)_0$ は単純であり、その真の商はアーベル群である。
• $\operatorname{Diff}_+^1(M)$ の有限生成部分群のクラスは、有限自由積に関して閉じていない。反例の構成によりこれを示した。