[論文レビュー] Diffeomorphism symmetry in quantum gravity models

Bianca Dittrich|ArXiv.org|Oct 20, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 67被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、量子重力に不可欠な微分同相変換対称性が、レッジ計算やスピン泡沫などの離散的量子重力モデルにおいてどのように保存されたり近似されたりするかを調査する。離散化された作用における対称性を分析し、一貫した離散化手法を用いることで、作用における近似対称性が正準形式における近似制約に対応することを示し、物理状態への経路積分射影子としての一貫性と、3次元で正確なディラック代数、4次元平坦領域で正確な連続極限の回復を可能にする。

ABSTRACT

We review and discuss the role of diffeomorphism symmetry in quantum gravity models. Such models often involve a discretization of the space-time manifold as a regularization method. Generically this leads to a breaking of the symmetries to approximate ones, however there are incidences in which the symmetries are exactly preserved. Both kind of symmetries have to be taken into account in covariant and canonical theories in order to ensure the correct continuum limit. We will sketch how to identify exact and approximate symmetries in the action and how to define a corresponding canonical theory in which such symmetries are reflected as exact and approximate constraints.

研究の動機と目的

• レッジ計算やスピン泡沫などの離散的量子重力モデルにおいて、微分同相変換対称性がどのように実現されたり破壊されたりするかを明確化すること。
• 共変（経路積分）形式における対称性と正準形式における制約との間の対応関係を確立すること。
• 一貫した離散化を用いた枠組みを構築し、正確および近似対称性を保存することで、共変形式と正準形式の両者との整合性を保証すること。
• 連続極限において制約のディラック代数が回復可能かどうかを調査すること、特に3次元重力および平坦4次元時空において。
• 経路積分がゲージ不変な物理状態への射影子として機能するようにするために、作用における対称性と正準理論における制約を一致させること。

提案手法

• 微小変換が極値に対して非自明に作用する場合に限り、レッジ作用の不変性とその対称性を評価する。
• 離散化作用から正確および近似対称性を反映する正準理論を構築するために、「一貫した離散化」の概念を導入する。
• 解におけるヘッセ行列の固有値を用いて正確な対称性を同定し、特に平坦な頂点移動に注目する。
• 三角形分割された多様体に対する局所的進化スキームを適用し、微分同相変換対称性と整合的な方法で力学と制約を定義する。
• 離散的設定における制約の代数的性質を調査し、平坦または3次元幾何における第一類代数が得られることを示す。
• 経路積分測度と境界項の役割を検討し、射影子解釈の整合性を保つために、近似的な不変性を要請する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相変換対称性は、レッジ計算などの離散的量子重力モデルにおいて、どのように特定され、保存されるか。
• RQ2 対称性が近似的に実現される場合に、共変作用における対称性と正準形式における制約との間の明確な対応関係は何か。
• RQ3 離散的モデルにおいて、特に3次元重力や平坦4次元時空において、制約のディラック代数が連続極限で回復可能かどうか。
• RQ4 作用における近似対称性が、正準形式における近似制約にどのように対応するか、およびその代数的構造はどのようなものか。
• RQ5 経路積分がゲージ不変な物理状態への射影子として機能するためには、経路積分測度と境界項が満たすべき条件は何か。

主な発見

• 宇宙定数を有する3次元重力では、離散化作用において正確な微分同相変換対称性を保存でき、正確なディラック代数が得られる。
• 平坦4次元時空では、離散的設定において正確なディラック代数のバージョンが存在し、連続極限でその代数が回復可能である可能性を示唆する。
• レッジ作用の対称性は、正確な対称性と近似対称性の混合であり、正確な対称性は平坦な頂点移動や他の幾何的不変性に起因する。
• 作用における近似対称性は、正準形式における近似制約の族に対応し、一貫した離散化により体系的に研究可能である。
• 経路積分が物理状態への射影子として機能するためには、共変作用における対称性と正準理論における制約が一致している必要がある。これは測度と境界項の注意深い取り扱いを要する。
• 観測量は、制約と（正確または近似的に）可換でなければならない。これは、制約が正確に課される極限において、無限大に発散する量子フラクチュエーションを避けるためである。