[論文レビュー] Difference between level statistics, ergodicity and localization transitions on the Bethe lattice

Giulio Biroli, Ana C. Ribeiro-Teixeira+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、ボスティラッチ上における相互作用のない不規則な電子が、局在状態と拡散状態の間の新しい中間相を示すことを示している。この相は拡散的ではあるがエルゴード的でない——つまり、GOEではなくPoissonレベル統計を示す。指向的高分子の統計力学とレベル統計、固有状態の性質、局所状態密度の数値解析を用いて、局在化転移より低い不規則性強度でのエルゴード性への転移を特定した。これは指向的高分子問題における凍結ガラス転移と関連しており、高次元における局在化転移の性質に根本的な変化をもたらす可能性を示唆している。

ABSTRACT

We show that non-interacting disordered electrons on a Bethe lattice display a new intermediate phase which is delocalized but non-ergodic, i.e. it is characterized by Poisson instead of GOE statistics. The physical signature of this phase is a very heterogenous transport that proceeds over a few disorder dependent paths only. We show that the transition to the usual ergodic delocalized phase, which takes place for a disorder strength smaller than the one leading to the localization transition, is related to the freezing-glass transition of directed polymers in random media. The numerical study of level and eigenstate statistics, and of the singular properties of the probability distribution of the local density of states all support the existence of this new intermediate phase. Our results suggest that the localization transition may change nature in high dimensional systems.

研究の動機と目的

• 高次元系、特にボスティラッチ上での局在化転移の性質を調査すること。ここでは、従来の理解が崩れる可能性がある。
• レベル統計（GOE 対 Poisson）とエルゴード性が局在化転移と一致するかどうかという長年の曖昧さを解消すること。
• 不規則な媒体における指向的高分子の凍結ガラス転移と局在化転移との関係を調査すること。
• 統計力学と数値シミュレーションを用いて、拡散的ではあるがエルゴード的でない中間相の特徴を明らかにすること。
• この新しい相における輸送特性と固有状態の構造、特にまれな支配的経路の役割を検討すること。

提案手法

• ボスティラッチ上での局在化転移を解析するため、レプリカ法とキャビティ法を用い、不規則なポテンシャル中の指向的高分子問題に写像する。
• 輸送および局在化特性を再帰関係を用いて研究するため、グリーン関数の虚部 $ \text{Im}G_{i\to j} $ の生成関数を用いる。
• $ \tilde{\theta}(s) $ の自由エネルギーとそのパrameter $ s $ への依存性を分析し、$ \text{Im}G_{i\to j} $ の分布の尾部を特徴づけることで、非エルゴード性を検出する。
• 逆参加比（IPR）とレベル統計（GOE 対 Poisson）を計算することで、エルゴード的・非エルゴード的相を区別する。
• 有限の $ \tilde{\theta} $ を用いた再帰方程式の数値シミュレーションにより、散逸およびデコherenceの体積内伝播を研究する。
• $ \text{Im}G_{i\to j} $ の確率分布を検討し、中間相におけるべき乗則的尾部およびまれな共鳴事象を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボスティラッチ上での局在化転移は、GOE から Poisson へのレベル統計の転移と一致するか？
• RQ2 Poisson統計を示すが拡散的波動関数を持つ、拡散的ではあるがエルゴード的でない相が存在するか？
• RQ3 エルゴード性への転移が $ W_T < W_L $ で発生するのか？ その物理的起源は何か？
• RQ4 中間相における輸送挙動は、エルゴード的相および局在化相とどのように異なるか？
• RQ5 不規則な媒体における指向的高分子の凍結ガラス転移と局在化転移との間に何の関係があるか？

主な発見

• ボスティラッチ上では、エルゴード的拡散状態と完全に局在化した状態の間の新しい中間相が存在する。この相は拡散的ではあるがエルゴード的でない——Poissonレベル統計によって裏付けられる。
• エルゴード性への転移は $ W_T < W_L $ で発生し、$ W_T $ は指向的高分子の凍結ガラス転移に対応する。ここで $ \tilde{\theta}(s) $ は $ s^* < 2 $ でカスプを形成する。
• 中間相では、$ \text{Im}G_{i\to j} $ を決定する経路の和が、有限個の不規則性依存経路によって支配され、輸送の著しい不均一性が生じる。
• $ \text{Im}G_{i\to j} $ の分布はべき乗則的尾部を示し、深部に進むにつれて大きくなるまれな共鳴が存在することを示す。
• 体積内の大多数のサイトでは $ \text{Im}G_{i\to j} $ が有限のまま保たれるが、$ \text{exp}(\text{avg}[\text{log} \text{Im}G_{i\to j}]) $ は小さくはあるが有限の値に近づく。これは持続的ではあるが弱い散逸を示唆する。
• $ W = W_L $ で $ s^* = 1 $ となり、局在化転移と整合的である。$ \tilde{\theta}(s) $ は $ s > 1 $ で消えるため、局在化の始まりが確認される。