[論文レビュー] Difference between the decay forms of the survival and nonescape probabilities

Manabu Miyamoto|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2002

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、1次元および3次元自由粒子系における生存確率 S(t) と非逸出確率 P(t) の長時間における減衰を調査する。初期状態の運動量空間波動関数が小運動量 k において O(k^m) とスケーリングする場合、m = 0 または 1 のとき、S(t) と P(t) は同様に減衰するが、m ≥ 2 のときにはその減衰形が乖離し、初期状態の小運動量構造に起因する、それらの漸近的挙動における根本的な違いが明らかになる。

ABSTRACT

The behavior of both the survival $S(t)$ and nonescape $P(t)$ probabilities at long times for one and three dimensional free particle system is shown to be closely connected to that of initial states at small momentum. We show that $S(t)$ and $P(t)$ exhibit similar asymptotic decay forms at long times, when the initial state $\\psi$ satisfies $\\hat{\\psi} (k)=O(k^m)$ with $m =0$ or 1 at small momentum. However, if $\\hat{\\psi} (k)=O(k^m)$ with an integer $m \\geq 2$, $S(t)$ and $P(t)$ decay in different ways at long times.

研究の動機と目的

• 自由粒子系における生存確率および非逸出確率の長時間における漸近的挙動を理解すること。
• S(t) と P(t) が長時間において同様に減衰するか、あるいは異なる形に減衰するかの条件を明確にすること。
• 初期状態の運動量空間波動関数の小運動量領域における挙動が、S(t) と P(t) の減衰形に与える影響を特定すること。
• 初期状態の運動量空間構造と、量子生存確率および非逸出確率の漸近的ダイナミクスとの間の関係を確立すること。

提案手法

• 1次元および3次元自由粒子系における生存確率 S(t) = |⟨ψ|e^{-iHt}|ψ⟩|² と非逸出確率 P(t) の分析。
• 初期状態 ψ を運動量空間で展開し、k = 0 の近傍におけるフーリエ変換 ψ̂(k) の挙動に注目する。
• 小 k におけるスケーリング ψ̂(k) = O(k^m) をもとに、S(t) と P(t) の長時間における減衰率を漸近的解析により特定する。
• m の異なる値、特に m = 0,1 と m ≥ 2 の間で S(t) と P(t) の減衰形を比較する。
• 長時間における時間発展演算子の振幅の挙動を評価するため、定常位相法およびサドルポイント近似を適用する。
• S(t) と P(t) が同じか異なる長時間における減衰挙動を示す条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由粒子系において、生存確率と非逸出確率が同じ漸近的形で減衰する条件は何か？
• RQ2 初期状態の運動量空間波動関数の小運動量領域における挙動は、S(t) と P(t) の長時間における減衰にどのように影響を与えるか？
• RQ3 初期状態の波動関数が小 k において O(k^m) とスケーリングする場合、m ≥ 2 であると S(t) と P(t) が異なる減衰挙動を示すのはなぜか？
• RQ4 初期状態の運動量空間構造が、量子生存確率および非逸出確率の漸近的ダイナミクスを決定づける役割を果たすのはどのような点か？
• RQ5 ψ̂(k) が k = 0 で何階でゼロになるかにのみ依存する、S(t) と P(t) の普遍的な減衰法則は存在するか？

主な発見

• 初期状態の運動量空間波動関数が小 k において ψ̂(k) = O(k^m) と満たすとき、m = 0 または 1 であれば、S(t) と P(t) は長時間において同一の減衰形を示す。
• 初期状態の ψ̂(k) が小 k において整数 m ≥ 2 で O(k^m) とスケーリングする場合、S(t) と P(t) は長時間において異なる関数的形で減衰する。
• この減衰挙動の差異は、系の時間発展演算子における低運動量成分の寄与の違いに起因する。
• S(t) と P(t) の長時間における減衰は、初期状態の運動量空間振幅がゼロ運動量で何階でゼロになるかに支配される。
• 解析により、m = 2 で漸近的ダイナミクスに臨界的転移が生じ、S(t) と P(t) の減衰メカニズムが分離することが明らかになった。