[論文レビュー] Difference of a Hauptmodul for $\Gamma_{0}(N)$ and certain Gross-Zagier type CM value formulas

Dongxi Ye|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、 genus zero の Hecke 合同部分群 $Γ_0(N)$ に対する Hauptmodul の差が、型 (2,2) の Borcherds 上げであることを確立し、古典的な $j(\tau_1) - j(\tau_2)$ の構成を一般化する。これにより、著者らは Hauptmodul に対して新しい Monster denominator formula に類似した積分展開と、素数レベル $p \in \{3,5,7,13\}$ における Hauptmodul に対する Gross–Zagier 型の CM 値公式を導出する。この結果は、theta 上げと Whittaker 関数に基づく一様な解析的枠組みにより、古典的な結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this work, we show that the difference of a Hauptmodul for a genus zero group $\Gamma_{0}(N)$ as a Hilbert modular function on $Y_{0}(N) imes Y_{0}(N)$ is a Borcherds lift of type $(2,2)$. As applications, we derive Monster denominator formula like product expansions for these Hilbert modular functions and certain Gross-Zagier type CM value formulas.

研究の動機と目的

• genus zero の $\Gamma_0(N)$ 群に対する Hauptmodul に対して、$j(\tau_1) - j(\tau_2)$ の Borcherds 上げ構造を一般化すること。
• 一様な解析的構成に基づき、$\Gamma_0(N)$ の Hauptmodul の差が型 (2,2) の Borcherds 上げであることを確立すること。
• これらのモジュラー関数に対して、新しい Monster denominator formula に類似した積分展開を導出すること。
• 素数レベル $p \in \{3,5,7,13\}$ における Hauptmodul に対して、Borcherds 上げ構造を用いて新しい Gross–Zagier 型の CM 値公式を取得すること。
• 局所 Whittaker 関数と theta 上げを用いた新しい解析的証明を提供し、平方自由でないレベルまで拡張された従来の結果を拡張すること。

提案手法

• $\pi_N(\tau_1) - \pi_N(\tau_2)$ の型 (2,2) の Borcherds 上げを、Siegel の theta 関数に対する theta 上げに基づく一様なアプローチで構成する。
• Bruinier, Kudla, および Yang の大規模 CM 値公式を用い、Borcherds 上げを Hauptmodul の CM 値に関連付ける。
• $p$-進積分とガウス和を用いて、特に $p \in \{3,5,7,13\}$ の場合に、局所 Whittaker 関数 $W_t(s, \varphi)$ を明示的に計算する。
• $p$-進積分と特徴和の解析により、非分岐および分岐な場所における局所 Whittaker 関数の明示的公式を導出する。
• 標準的な Whittaker 展開と局所因子を用いて、Hecke 特徴形式の $L$-関数と Whittaker 関数を関連付ける。
• 得られた Whittaker 関数の値を用いて、CM 点における $\log|\pi_p(\tau_{a_1}) - \pi_p(\tau_{a_2})|$ の平均を計算し、Gross–Zagier 型の公式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus zero の $\Gamma_0(N)$ 群に対する Hauptmodul の差は、型 (2,2) の Borcherds 上げであるか。これは、古典的な $j(\tau_1) - j(\tau_2)$ の場合を一般化するものか。
• RQ2 $N$ が平方自由でない場合でも、Monster denominator formula に類似した積分展開を $\Gamma_0(N)$ に対する Hauptmodul に拡張できるか。
• RQ3 素数レベル $p \in \{3,5,7,13\}$ における $\pi_p(\tau)$ の CM 値公式の構造は何か。また、Borcherds 上げとどのように関係するか。
• RQ4 局所 Whittaker 関数が $p$-進場所において、theta 上げを通じてグローバルな CM 値公式にどのように寄与するか。
• RQ5 $p$-進積分とガウス和に基づく新しい解析的枠組みは、平方自由でない場合にも、Gross–Zagier 公式の均一な導出を可能にするか。

主な発見

• $\Gamma_0(N)$ の Hauptmodul $\pi_N$ に対して、差 $\pi_N(\tau_1) - \pi_N(\tau_2)$ は型 (2,2) の Borcherds 上げである。これは、古典的な $j(\tau_1) - j(\tau_2)$ の場合を一般化する。
• $p \in \{3,5,7,13\}$ の場合、著者らは $\pi_p(\tau)$ に対して新しい Gross–Zagier 型の CM 値公式を導出し、CM 点の和に局所 Whittaker 関数が重みとして付加された形で表される。
• 局所 Whittaker 関数 $W_t(s, \varphi)$ は、$p$-進場所で明示的に計算されており、値はリーマン・ジェッター記号と $t = (2m + D + \sqrt{D})/2$ の $p$-進付値に依存する。
• $\log|\pi_p(\tau_{a_1}) - \pi_p(\tau_{a_2})|$ の平均の公式は、$|2m + D| < \sqrt{D}$ を満たす $t$ の和で表され、$\rho(tp^{-1})$ と局所ヒルベルト記号が重みとして付加される。
• 導出は大規模 CM 値公式と明示的な $p$-進積分の計算を用いており、従来の方法を超えて CM 公式の新しい解析的証明をもたらす。
• 結果は、平方自由制限を外し、theta 上げと $p$-進解析に基づくより自然な解析的アプローチを用いることで、Scheithauer の研究を拡張する。