[論文レビュー] Difference Sequence Spaces Derived by Generalized Weighted Mean

Harun Polat, Vatan Karakaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2010

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、一般化された重み付き平均と差分作用素を組み合わせることで新たな数列空間を定義し、その位相的性質（完備性、AK/AD性質）を確立するとともに、α-、β-、γ双対を計算する。また、無限行列がこれらの空間からℓ∞およびcへの写像であるための必要十分条件を導出し、新規数列空間枠組みにおける行列変換を完全に特徴づける。

ABSTRACT

In this work, we define new sequence spaces by combining generalized weighted mean and difference operator. Afterward, we investigate topological structure which are completeness, AK-property, AD-property. Also, we compute the alpha, beta and gamma duals, and obtain bases for these sequence spaces. Finally, necessary and sufficient conditions on an infinite matrix belonging to the classes (c(u,v,):\ell_{\infty}) and (c(u,v,):c) are established.

研究の動機と目的

• 一般化された重み付き平均と差分作用素を組み合わせることで新たな数列空間を定義すること。
• 新規数列空間における完備性、AK、AD性質などの位相的性質を調査すること。
• 新規数列空間のα-、β-、γ双対を計算し、基底を特定すること。
• 無限行列Aが変換クラス(c(u,v,Δ):ℓ∞)および(c(u,v,Δ):c)に属するための必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 差分作用素Δを用いて、ΔxのG(u,v)-変換がcに属するすべての数列xの集合として、数列空間c(u,v,Δ)を定義する。
• g_{nk} = u_n v_k (k ≤ n の場合) およびそれ以外は0である一般化された重み付き平均行列G(u,v)を用いる。
• 変数変換y_k = (1/u_k) * Σ_{i=0}^{k-1} (1/v_i - 1/v_{i+1}) x_i + (1/(u_k v_k)) x_k を用いて、行列写像を表現する変換技術を適用する。
• 変換された級数の収束性と有界性を分析することにより、行列Aがc(u,v,Δ)からℓ∞およびcへの写像であるための必要十分条件を導出する。
• ハーン＝バナッハの定理と双対性理論を用いて、新規数列空間のα-、β-、γ双対を特徴づける。
• 標準的シュードル基底{e^{(k)}}を用いて数列空間c(u,v,Δ)の基底を確立し、AKおよびAD性質を用いてその稠密性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された重み付き平均と差分作用素を組み合わせて得られる数列空間c(u,v,Δ)の位相的性質（完備性、AK、AD）は何か？
• RQ2 数列空間c(u,v,Δ)のα-、β-、γ双対は何か？また、その基底は何か？
• RQ3 無限行列Aがc(u,v,Δ)からℓ∞への写像であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 無限行列Aがc(u,v,Δ)からcへの写像であるための必要十分条件は何か？
• RQ5 行列Aの変換性質は、数列空間c(u,v,Δ)の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 数列空間c(u,v,Δ)は、一般化された重み付き平均と差分作用素によって誘導されるノルムのもとで完備である。
• 空間c(u,v,Δ)はAK性質を有し、標準基底{e^{(k)}}がシュードル基底であり、φがc(u,v,Δ)において稠密であることを意味する。
• c(u,v,Δ)のα双対は、すべての数列aで、sup_n Σ_k |Σ_{i=0}^{k-1} (1/u_k)(1/v_i - 1/v_{i+1}) a_{nk} + (1/(u_k v_k)) a_{nk}| < ∞ を満たすものからなる。
• c(u,v,Δ)のβ双対は、すべてのy ∈ c(u,v,Δ)に対して級数Σ_k (Σ_{i=0}^{k-1} (1/u_k)(1/v_i - 1/v_{i+1}) a_{nk} + (1/(u_k v_k)) a_{nk}) y_k が収束するようなものとして特徴づけられる。
• c(u,v,Δ)のγ双対は、すべての数列aで、sup_n |Σ_k (Σ_{i=0}^{k-1} (1/u_k)(1/v_i - 1/v_{i+1}) a_{nk} + (1/(u_k v_k)) a_{nk})| < ∞ を満たすものからなる。
• 行列Aが(c(u,v,Δ):ℓ∞)に属するための必要十分条件は、(4.1)–(4.4)の条件が成り立つことである：行和の有界性、級数の収束性、および変換係数の一様有界性。