[論文レビュー] Different conceptions of Euclidean geometry

Yuri A. Rylov|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2007

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド幾何学の3つの異なる表現——E表現（点、線分、角）、V表現（点、線形空間を備えたベクトル）、σ表現（世界関数 σ = ρ²/2 を持つ単一の要素）——を提案する。特に、距離が基本構造としてσに符号化されるσ表現は、ユークリッド幾何学を変更するのに最適であることが示され、いかなる変更も、同じ大きさと方向を持つが互いに等しくない複数のベクトルを含む多価幾何に導く。

ABSTRACT

Three different representation of the proper Euclidean geometry are considered. They differ in the number of basic elements, from which the geometrical objects are constructed. In E-representation there are three basic elements (point, segment, angle) and no additional structures. V-representation contains two basic elements (point, vector) and additional structure: linear vector space. In σ-representation there is only one basic element and additional structure: world function σ = ρ 2 /2, where ρ is the distance. The concept of distance appears in all representations. However, as a structure, determining the geometry, the distance appears only in the σ-representation. The σ-representation is most appropriate for modification of the proper Euclidean geometry. Practically any modification of the proper Euclidean geometry turns it into multivariant geometry, where there are many vectors Q0Q1,Q0Q ′ 1,..., which are equal to the vector P0P1, but they are not equal between themselves, in general.

研究の動機と目的

• 基本要素と構造に基づいて、ユークリッド幾何学の異なる基礎的表現を分析・比較すること。
• 幾何的整合性を保ちつつユークリッド幾何学を変更するのに最も適した表現を特定すること。
• 世界関数 σ = ρ²/2 を基本構造として導入することで、幾何学的一般化を体系的に行える仕組みを解明すること。
• ユークリッド幾何学の変更が自然に、等しいベクトルが必ずしも同一でない多価幾何に導くことの証明。
• 非ユークリッド的または一般化された幾何学を探索するための最も適切な枠組みとしてσ表現を確立すること。

提案手法

• 点、線分、角の3つの原始的要素のみを用いてE表現を定義し、追加の構造を含めない。
• 点とベクトルを用い、線形ベクトル空間構造を追加することでV表現を導入する。
• 点を唯一の基本要素とし、世界関数 σ = ρ²/2 を唯一の幾何的構造としてσ表現を定式化する。
• 世界関数σを用いて距離と幾何的関係を符号化し、従来の計量概念を置き換える。
• σの変更が幾何的整合性およびベクトルの等価性に与える影響を分析する。
• 変更された幾何学において、与えられたベクトルに等しいが互いに等しくない複数のベクトルが存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド幾何学の異なる基礎的表現は、その基本要素と構造的要件においてどのように異なるか？
• RQ2 幾何学的一般化の観点から、σ表現はE表現およびV表現に比べてどのような利点を有するか？
• RQ3 距離を世界関数 σ = ρ²/2 として符号化することは、幾何学の構造をどのように根本的に変えるか？
• RQ4 なぜσ表現によるユークリッド幾何学の変更は、必然的に多価幾何に導くのか？
• RQ5 σ表現は幾何的変更をより体系的かつ整合的に行うために、どのように機能するのか？

主な発見

• 点を唯一の基本要素とし、世界関数 σ = ρ²/2 を用いるσ表現は、ユークリッド幾何学を変更するのに最も適した基盤を提供する。
• σ表現において距離は導出量ではなく、σに直接符号化された基本構造である。
• σ表現において、ユークリッド幾何学の適切な変更は、同じ大きさと方向を持つが互いに等しくない複数のベクトルを含む多価幾何に導く。
• E表現は距離の形式的構造を欠くが、V表現は線形ベクトル空間に依存しており、両者ともσ表現ほど一般化に適さない。
• σを幾何的不変量として扱うことで、σ表現は非ユークリッド幾何学の整合的かつ体系的な探求を可能にする。
• 世界関数σを変更することで、ユニバリアントからマルチバリエントな幾何に移行する現象は、σの中心的役割を強調する。