[論文レビュー] Different Statistical Future of Dynamical Orbits over Expanding or Hyperbolic Systems (I): Empty Syndetic Center

Yiwei Dong, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 54被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、特に空のシンデティック中心を有する拡張または双曲的系において、上/下自然密度およびバナッハ密度を用いた統計的枠組みを導入し、力学的軌道を分類する。12種の異なる統計的構造が存在することを示し、それぞれが完全な位相的エントロピーを示しており、非再帰的で測度ゼロの集合であっても、強い力学的複雑性が顕在化していることを明らかにする。

ABSTRACT

In the theory of dynamical systems, a fundamental problem is to study the asymptotic behavior of dynamical orbits. Lots of different asymptotic behavior have been learned including different periodic-like recurrence such periodic and almost periodic, the level sets and irregular sets of Birkhoff ergodic avearge, Lyapunov expoents. In present article we use upper and lower natural density, upper and lower Banach density to differ statistical future of dynamical orbits and establish several statistical concepts on limit sets, in particular such that not only different recurrence are classifiable but also different non-recurrence are classifiable. In present paper we mainly deal with dynamical orbits with empty syndetic center and show that twelve different statistical structure over expanding or hyperbolic dynamical systems all have dynamical complexity as strong as the dynamical system itself in the sense of topological entropy. Moreover, multifractal analysis on various non-recurrence and Birkhoff ergodic averages are considered together to illustrate that the non-recurrent set has rich and colorful asymptotic behavior from the statistical perspective, although the non-recurrent set has zero measure for any invariant measure from the probabilistic perspective. Roughly speaking, on one hand our results describe a world in which there are twelve different predictable order in strongly chaotic systems but also there are strong chaos in any fixed predictable order from the viewpoint of dynamical complexity on full topological entropy; and on other hand we find that various asymptotic behavior such as (non-)recurrence and (ir)regularity from differnt perspecitve survive togother and display strong dynamical complexity in the sense of full topological entropy. In this process we obtain two powerful ergodic properties on entropy-dense property and saturated property.

研究の動機と目的

• 非再帰的および不規則な集合を含む、力学的軌道における異なる漸近的挙動のタイプを、統計的密度を用いて分類すること。
• 拡張または双曲的系におけるシンデティック中心が空集合である軌道の力学的複雑性を分析すること。
• 不変測度のもとで測度ゼロであるにもかかわらず、統計的に豊かである非再帰的集合と、位相的複雑性との調和をとること。
• 極限集合の理解に役立てる新しいエルゴード的性質（エントロピー密度および飽和性）を確立すること。
• 混沌とした系における非再帰的挙動ですら、完全な位相的エントロピーを示し、最大の力学的複雑性を示していることを実証すること。

提案手法

• 上・下自然密度および上・下バナッハ密度を用いて、力学的軌道の統計的構造を定義する。
• 統計的再帰性および非再帰性のパターンに基づき、極限集合の分類体系を導入する。
• バーキッホエルゴード平均およびリャプノフ指数の多重フラクタル構造を分析し、不規則で非再帰的な挙動を捉える。
• 位相的エントロピーを力学的複雑性の尺度として用い、軌道の統計的構造を比較する。
• シンデティック中心が空集合である極限集合に適用可能な、二つの新しいエルゴード的性質（エントロピー密度および飽和性）を確立する。
• これらのツールを用いて、系内の12の統計的構造すべてが完全な位相的エントロピーに達することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰性および非再帰性の異なるタイプを、密度に基づく測度を用いてどのように統計的に分類できるか？
• RQ2 拡張または双曲的系におけるシンデティック中心が空集合である軌道の力学的複雑性は何か？
• RQ3 不変測度のもとで測度ゼロであるにもかかわらず、非再帰的集合が統計的および位相的複雑性を示し得るか？
• RQ4 バーキッホ平均およびリャプノフ指数の多重フラクタル構造は、軌道の統計的分類とどのように相互作用するか？
• RQ5 シンデティック中心が空集合である系に、どのような新しいエルゴード的性質が出現し、それらは位相的エントロピーとどのように関係するか？

主な発見

• シンデティック中心が空集合である拡張または双曲的系における力学的軌道には、12種の異なる統計的構造が存在する。
• これらの12の統計的構造すべてが完全な位相的エントロピーを示しており、最大の力学的複雑性を示している。
• 不変測度のもとで測度ゼロであるにもかかわらず、非再帰的集合は統計的観点から豊かで多様な漸近的挙動を示す。
• バーキッホ平均およびリャプノフ指数の多重フラクタル解析により、非再帰的領域における複雑で非一様な分布が明らかになった。
• エントロピー密度および飽和性の性質は、シンデティック中心が空集合である極限集合の分析に強力なツールであることが確立された。
• 結果として、固定され予測可能な統計的順序の中にも、強いカオスが持続しており、すべての構造で完全な位相的エントロピーが確認された。