[論文レビュー] Differentiability of Lipschitz maps from metric measure spaces to Banach spaces with the Radon Nikodym property

Jeff Cheeger, Bruce Kleiner|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、PI空間（完備で、双曲的で、Poincaré不等式を満たす距離測度空間）からRNP（Radon-Nikodym Property）を有するバナッハ空間へのリプシッツ連続写像が、μ-ほとんど everywhere で無限回微分可能であることを確立する。逆極限の有限次元バナッハ空間と漸近的ノルム化性質（ANP）を用いて、この枠組みにおける弱微分が強い微分を意味することを示し、Cheegerの実数値関数に対する以前の結果をバナッハ空間値への一般化する。

ABSTRACT

We prove the differentiability of Lipschitz maps X-->V, where X is a complete metric measure space satisfying a doubling condition and a Poincaré inequality, and V is a Banach space with the Radon Nikodym Property (RNP). The proof depends on a new characterization of the differentiable structure on such metric measure spaces, in terms of directional derivatives in the direction of tangent vectors to suitable rectifiable curves.

研究の動機と目的

• PI空間上の実数値関数に対するCheegerの微分可能性理論を、RNPを有するバナッハ空間値への写像へと拡張すること。
• 測度空間におけるリーマン的曲線に沿った方向微分を用いた、微分可能性の特徴づけを確立すること。
• 逆極限空間における漸近的ノルム化性質（ANP）が、弱微分が強い微分を意味することを保証すること。
• RNPを有する空間へのリプシッツ同相埋め込みが、PI空間の接空間構造に強い幾何的制約を課することを示すこと。

提案手法

• 分離可能なバナッハ空間を、有限次元バナッハ空間の逆極限の部分空間として表現すること。
• PI空間上の実数値関数の微分可能性を活用して、$ f: X \to V $ が逆極限 $ \varprojlim W_i $ 値をとるリプシッツ連続写像の弱微分を定義すること。
• 漸近的ノルム化性質（ANP）を用いて、差分商の弱収束 $ \Delta_\epsilon f(\underline{x}) \to \{D_{\underline{x}}f_i\} $ が $ V $ 内で強い収束を意味することを示し、微分可能性を保証すること。
• Egoroffの定理およびLusinの定理を用いて、可測収束を扱い、近似が一様となる全測度の部分集合を構成すること。
• リプシッツ曲線に沿った方向微分を用いて、最小上界勾配を特徴づけ、点での上界リプシッツ定数と関連付けること。
• チャート $ (U_\alpha, y^\alpha) $ を用いて定義される接バンドル $ TX $ が、リプシッツ同相的不変構造を有することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PI空間上の実数値リプシッツ関数の微分可能性理論を、RNPを有するバナッハ空間値への写像へと拡張可能か？
• RQ2 漸近的ノルム化性質（ANP）は、弱微分が強い微分を意味することを保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 測度空間におけるリーマン的曲線に沿った方向微分は、微分可能性をどのように特徴づけるか？
• RQ4 RNP空間へのリプシッツ同相埋め込みは、PI空間の接錐にどのような幾何的制約を課えるか？
• RQ5 逆極限フレームワークは、一般のRNPバナッハ空間へのリプシッツ連続写像の微分可能性を十分に捉えられるか？

主な発見

• 任意のリプシッツ連続写像 $ f: X \to V $ に対して、$ X $ がPI空間で $ V $ がRNPを有するとき、$ \mu $-ほとんど everywhere で微分可能である。
• 微分可能性は、リーマン的曲線に沿った方向微分を用いて特徴づけられ、最小上界勾配 $ g_f $ は $ \mu $-ほとんど everywhere で点での上界リプシッツ定数 $ \hat{g}_f $ に等しい。
• 弱微分が逆極限 $ \varprojlim W_i $ 値をとるとき、それが部分空間 $ V \subset \varprojlim W_i $ に値をとるための必要十分条件は、$ f $ が $ \mu $-ほとんど everywhere で微分可能であることである。
• ANPにより、差分商 $ \Delta_\epsilon f(\underline{x}) $ の弱収束 $ \{D_{\underline{x}}f_i\} $ が $ V $ 内で強い収束を意味し、したがって微分可能性が保証される。
• もし $ X $ がRNPを有するバナッハ空間へのリプシッツ同相埋め込みを有するならば、$ \mu $-ほとんど everywhere で点 $ x \in X $ における接錐は、ユークリッド空間にリプシッツ同相的同相である。
• 微分可能性は、関数 $ h_{(a_1,\dots,a_{k(\alpha)})} $ の近似連続性と同値であり、これはチャート関数 $ y^\alpha_m $ の線形結合の最小上界勾配として定義され、全測度のボレル集合 $ Z \subset X $ 上で成り立つ。