[論文レビュー] Differentiability of non-archimedean volumes and non-archimedean Monge-Ampère equations (with an appendix by Robert Lazarsfeld)

José Ignacio Burgos Gil, Walter Gubler+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、完備な離散的価値体上の射影的代数多様体上の線束に対して、連続な半正定的計量における非アルキメデス的体積の微分可能性を確立し、その導関数が非アルキメデス的モンジュ＝アンペール測度による積分で与えられることを証明する。これはコンツェビッチとツシンケルの予想を裏付け、特徴標数0における非アルキメデス的モンジュ＝アンペール方程式の解の存在定理における代数的仮定$(\dagger)$を除去する。

ABSTRACT

Let $X$ be a normal projective variety over a complete discretely valued field and $L$ a line bundle on $X$. We denote by $X^ extrm{an}$ the analytification of $X$ in the sense of Berkovich and equip the analytification $L^ extrm{an}$ of $L$ with a continuous metric $\| \ \|$. We study non-archimedean volumes, a tool which allows us to control the asymptotic growth of small sections of big powers of $L$. We prove that the non-archimedean volume is differentiable at a continuous semipositive metric and that the derivative is given by integration with respect to a Monge-Ampère measure. Such a differentiability formula had been proposed by M. Kontsevich and Y. Tschinkel. In residue characteristic zero, it implies an orthogonality property for non-archimedean plurisubharmonic functions which allows us to drop an algebraicity assumption in a theorem of S. Boucksom, C. Favre and M. Jonsson about the solution to the non-archimedean Monge-Ampère equation. The appendix by R. Lazarsfeld establishes the holomorphic Morse inequalities in arbitrary characteristic.

研究の動機と目的

• 非アルキメデス的体積が連続な半正定的計量において微分可能であることを確立すること。
• 体積関数の導関数が非アルキメデス的モンジュ＝アンペール測度による積分で与えられることを証明すること。
• 特徴標数0における非アルキメデス的モンジュ＝アンペール方程式の解の存在定理における代数的仮定$(\dagger)$を除去すること。
• ロバート・ラザルフェルドによる付録を通じて、任意の特徴標数における正則的モース不等式の一般化を達成すること。
• 非アルキメデス的幾何におけるグローバル手法に代わる局所的体積ツールを提供し、強い代数的仮定の除去を可能にすること。

提案手法

• 完備な離散的価値体上の射影的多様体$X$の解析的化を用い、線束$L^{{\mathrm{an}}}$に連続な半正定的計量を備える。
• 非アルキメデス的体積の理論を用いて、$L^{{\otimes}m}$の小さな切断の漸近的成長を制御する。
• 連続な半正定的計量における体積関数の微分可能性の公式を確立し、その導関数がモンジュ＝アンペール測度$c_{1}(L,\|\|)^{\wedge n}$に一致することを示す。
• 漸近的コホホロジー関数$\widehat{h}^{i}(Y,L)$を用い、古典的な体積およびモース不等式の結果を任意の体に一般化する。
• 基本変換とベルティーニ型の議論を用いて、非常に正則な除集合の状況に還元し、コーサン型複体によるアセイクル解体を適用する。
• R. ラザルフェルドによる付録に依拠し、任意の特徴標数における正則的モース不等式の純代数的証明を提供する。これは体積推定の一般化に不可欠である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アルキメデス的体積関数は、連続な半正定的計量において微分可能な構造を有するか？
• RQ2 体積関数の導関数は、非アルキメデス的設定においてモンジュ＝アンペール測度として表現可能か？
• RQ3 特徴標数0における擬正則関数の直交性性質は、非アルキメデス的モンジュ＝アンペール問題における代数的条件$(\dagger)$の除去を可能にするか？
• RQ4 任意の特徴標数において、漸近的コホホロジー関数$\widehat{h}^{i}$は交差理論的量によって有界化可能か？
• RQ5 正則的モース不等式は、解析的手法を用いずに正の特徴標数において代数的に証明可能か？

主な発見

• 非アルキメデス的体積は、任意の連続な半正定的計量において微分可能であり、その導関数はモンジュ＝アンペール測度$c_{1}(L,\|\|)^{\wedge n}$に一致する。これはコンツェビッチとツシンケルの予想を裏付ける。
• 残渣標数0の場合、微分可能性は非アルキメデス的擬正則関数の直交性性質を示し、非アルキメデス的モンジュ＝アンペール方程式の存在定理における代数的仮定$(\dagger)$の除去を可能にする。
• R. ラザルフェルドによる付録は、任意の特徴標数における漸近的正則的モース不等式の完全な代数的証明を提供し、以前の解析的および特徴標数0の結果を一般化する。
• 体積関数は、ネフな線束に対して漸近的公式$\operatorname{vol}(L\otimes M^{-1}) \geq L^n - nL^{n-1}\cdot M$を満たし、古典的結果を代数的閉体でない体へと拡張する。
• 任意の体上の射影的スキーム$Y$に対して、ネフな除集合$D,E$について、漸近的コホホロジー関数$\widehat{h}^{q}(Y,F)$は$\widehat{h}^{q}(Y,F) \leq \binom{n}{q} D^{n-q} \cdot E^q$を満たし、体積の場合（$q=0$）に等号が成立する。
• 証明戦略は、モデル上のグローバル手法に代わって局所的体積推定を用いることで、$X$が曲線の函数体上に定義されている必要がない非アルキメデス的モンジュ＝アンペール方程式の解法を可能にする。