[論文レビュー] Differentiability of the van der Waals interaction between two atoms

Ioannis Anapolitanos, Mathieu Lewin+1 more|Repository KITopen (Karlsruhe Institute of Technology)|Jan 1, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Born-Oppenheimer近似下での2原子間のファンデルワールス相互作用エネルギーの微分可能性を確立し、単一原子の非可約性条件の下でファンデルワールス=ローレンツ則を証明する。大距離における相互作用エネルギーの厳密な単調性および凹性を示し、その1階および2階微分の主要項を導出し、物理的には力およびその変化率に対応する。

ABSTRACT

In this work we improve upon previous results on the expansion of the interaction energy of two atoms. On the one hand we prove the van der Waals-London's law, assuming that only one of the ground state eigenspaces of the atoms is irreducible in an appropriate sense. On the other hand we prove strict monotonicity of the interaction energy at large distances and, under more restrictive assumptions, we provide the leading order of its first two derivatives. The first derivative is interpreted as the force in Physics. Moreover, the estimates of the first two derivatives provide a rigorous proof of the monotonicity and concavity of the interaction energy at large distances.

研究の動機と目的

• Born-Oppenheimer近似下での2原子間のファンデルワールス相互作用エネルギーの微分可能性を厳密に確立すること。
• 2つの原子の基底状態固有空間のうち、片方のみが非可約であるという仮定の下で、ファンデルワールス=ローレンツ分散則を証明すること。
• 相互作用エネルギーの長距離挙動を分析し、力およびその変化を特徴付けるために1階および2階微分に焦点を当てる。
• 大間隔における相互作用エネルギーの単調性および凹性の数学的基盤を提供すること。
• 相互作用エネルギーおよびその微分の主要項漸近挙動を厳密に導出し、物理的直観を数学的精度で裏付けること。

提案手法

• 2つの分離した原子のハミルトニアンのスペクトル的性質を解析するため、フェシュバッハ射影法を用いる。
• ZhislinおよびHVZの定理を適用して、基底状態エネルギーが本質的スペクトルの下にある孤立固有値であることを保証する。
• 相互作用ハミルトニアン $ I $ を核間距離 $ r $ のべき級数展開により扱い、大距離において $ r^{-1} $ を小さなパラメータとみなす。
• フェシュバッハ写像およびスペクトル射影技術を用いて、エネルギーシフト $ E(r) - E(∞) $ の推定を行い、$ -\sigma r^{-6} + O(r^{-7}) $ のように振る舞うことを示す。
• 2番目のリゾルベント恒等式および微分推定を用いて、射影ハミルトニアンの $ r $ 依存性を制御し、エネルギーの微分可能性を可能にする。
• テスト関数エネルギー関数 $ D(r) $ の単調性を用いて、背理法とスペクトル比較により $ E(r) $ が大 $ r $ で厳密に増加することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非 degenerate または非可約な基底状態固有空間を持つ2原子に対して、ファンデルワールス=ローレンツ分散則が成立する条件は何か？
• RQ2 大間隔における相互作用エネルギーは厳密に単調増加であるか？ その証明は可能か？
• RQ3 相互作用エネルギーの1階および2階微分の主要項漸近挙動は何か？
• RQ4 量子力学的原理から、力およびその変化率（すなわちエネルギーの1階および2階微分）をどのように厳密に導出できるか？
• RQ5 大距離における相互作用エネルギーの凹性は、数学的に確立可能であり、物理的期待と一致するか？

主な発見

• 片方の原子の基底状態固有空間のみが非可約であるという条件下で、相互作用エネルギー $ E(r) $ はファンデルワールス=ローレンツ則を満たす：$ E(r) = E(\infty) - \sigma r^{-6} + O(r^{-7}) $。
• エネルギー $ E(r) $ は大 $ r $ で厳密に増加する。これは、相互作用力が引力であり、距離が増加するにつれてその反発的成分が弱まることを示唆する。
• $ E(r) $ の1階微分は $ \frac{dE}{dr} = 6\sigma r^{-7} + O(r^{-8}) $ のように振る舞い、物理的には系の力に対応する。
• 2階微分は負であり、$ \frac{d^2E}{dr^2} = -42\sigma r^{-8} + O(r^{-9}) $ のように振る舞う。これは、大距離におけるエネルギー曲線の凹性を確認する。
• 微分に関する推定は $ O_d^\infty $ の意味で一様であり、摂動や原子構造への依存性に対して頑健であることを示す。
• フェシュバッハ写像に基づくテスト関数 $ D(r) $ の単調性を用いて、背理法とスペクトル比較により $ E(r) $ が大 $ r $ で厳密に増加することを証明した。