[論文レビュー] Differentiable Cohomology of Gauge Groups

Jean-Luc Brylinski|ArXiv.org|Nov 11, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、$BG$ 上の単体層 $\underline{A}$ を用いて、特にゲージ群を対象として、$\mathbb{C}^*$ に係数をとる微分可能コホモロジー理論を導入する。微分可能コホモロジーとデリーニュコホモロジーの関係を確立し、切断されたド・ラームコホモロジーを用いて明示的な局所コサイクルを構成し、導来リーヒューリングのコサイクルがカック＝ムーディおよびボット＝シュルマン＝スターシェフのコサイクルを一般化することを証明する。これにより、2次的特徴類のためのホロモーフィック枠組みが得られる。

ABSTRACT

We give a definition of differentiable cohomology of a Lie group G (possibly infinite-dimensional) with coefficients in any abelian Lie group. This differentiable cohomology maps both to the cohomology of the group made discrete and to Lie algebra cohomology. We show that the secondary characteristic classes of Beilinson lead to differentiable cohomology classes with coefficients in C*. These may be viewed as an enrichment of the Chern-Simons differential forms. By transgression, classes in differentiable cohomology of a Lie group G lead to differentiable cohomology classes for gauge groups Map(M,G). These classes generalize the central extensions of loop groups. We also discuss holomorphic cohomology of complex Lie groups as the natural place to construct secondary classes. We present several conjectures relating the above cohomology classes to the differential forms of Bott-Shulman-Stasheff.

研究の動機と目的

• アーベルリーダーリング $A$、特に $\mathbb{C}^*$ に係数をとる、中心拡大を分類し、既知の特徴類を一般化する、リー群にたいする微分可能コホモロジー理論を構築すること。
• 複素化されたゲージ群上の微分可能コホモロジー類にホロモーフィック枠組みを提供し、それらをベイリンソンの特徴類およびデリーニュコホモロジーと関連づけること。
• デリーニュコホモロジーを切断されたド・ラームコホモロジーに還元することにより、単位元の近傍で明示的な局所群コサイクルを構成すること。
• これらの類から得られる導来リーヒューリングのコサイクルが、カック＝ムーディの2次コサイクルおよびツィガン、ローディ＝クワイレン、フェイジンによる高次元版を一般化することを証明すること。
• トランスグレッションとデリーニュコホモロジーを用いて、複素多様体に埋め込まれた境界を持つ多様体上でのゲージ理論における相互法則の意味を、ホロモーフィックな文脈で明確にすること。

提案手法

• $H^l_{\text{diff}}(G,A)$ を、$G^p$ 上の滑らかな $A$-値関数からなる単体層 $\underline{A}$ を係数とする、単体多様体 $BG$ 上のハイパーコホモロジーとして定義する。
• 指数写像の完全列を用いて、$\mathbb{Z}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{C}^*$ に係数をとるコホモロジーを関連づけ、コンパクトな $G$ に対して $H^l_{\text{diff}}(G,\mathbb{C}^*)$ が $H^{l+1}(G,\mathbb{Z})$ に同型であることを示す。
• ベイリンソンの特徴類を用いて、$H^{2p}(BG,\mathbb{Z})$ に値をとる特徴類に対応する、$H^{2p-1}_{\text{hol}}(G_\mathbb{C},\mathbb{C}^*)$ に値をとるホロモーフィックコホモロジー類を構成する。
• 単位元の近傍に制限するため、デリーニュコホモロジーのド・ラーム部を焦点化し、$G^q$ 上の形式の族 $(\omega_1, \dots, \omega_p)$ で表される切断されたド・ラームコホモロジー類に還元する。
• 局所群コサイクルを微分することによりリーヒューリングのコサイクルを導出し、微分形式の外積とリーヒューリング値関数の導関数を含む明示的な式を得る。
• 複素多様体に埋め込まれた境界付き多様体上のゲージ群に対して、デリーニュコホモロジーにおけるトランスグレッションおよびホロモーフィックトランスグレッション写像を用いて、相互法則を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ群に対して $\mathbb{C}^*$ 係数の微分可能コホモロジーをどのように定義すれば、中心拡大を分類し、既知の特徴類を一般化できるか？
• RQ2 微分可能コホモロジー類とデリーニュコホモロジーにおけるベイリンソンの特徴類の関係は何か？
• RQ3 切断されたド・ラームコホモロジーを用いて、単位元の近傍で明示的な局所群コサイクルを構成できるか？
• RQ4 これらの類から得られる導来リーヒューリングのコサイクルは、カック＝ムーディおよび高次元版のボット＝シュルマン＝スターシェフのコサイクルとどのように関係するか？
• RQ5 ゲージ理論における相互法則のホロモーフィック起源は何か？ そして、デリーニュコホモロジーにおけるトランスグレッションを用いて、それらをどのように証明できるか？

主な発見

• コンパクトなリー群 $G$ に対して、$H^l_{\text{diff}}(G,\mathbb{C}^*) \cong H^{l+1}(G,\mathbb{Z})$ が成り立ち、$\mathbb{C}^*$ 係数の微分可能コホモロジーの直接的な計算が可能になる。
• 構成により、$H^{2p}(BG,\mathbb{Z})$ に値をとる特徴類に対応する、$H^{2p-1}_{\text{hol}}(G_\mathbb{C},\mathbb{C}^*)$ に値をとるホロモーフィックコホモロジー類が得られ、チーガー＝シモンズ類の高次元一般化が実現される。
• $k = p-1$ の場合の導来リーヒューリングコサイクルは、$c(\xi_1, \dots, \xi_p) = \int_X \omega_p(\xi_1, d\xi_2, \dots, d\xi_p)$ で与えられ、カック＝ムーディコサイクルの直接的な高次元一般化である。
• デリーニュクラスのド・ラーム部がボット＝シュルマン＝スターシェフ形式と一致するという予想が成立すれば、単位元の近傍で明示的な局所コサイクルの公式が得られる。
• 微分によって得られるリーヒューリングコサイクルは、$\xi \mapsto \int_X \alpha$ というコチェインの反対称化であり、ここで $\alpha$ は $\omega_m$ と $\xi_i$ の導関数から構成される $k$-形式である。
• デリーニュコホモロジーを用いた構成により、相互法則の自然な枠組みが得られ、ホロモーフィックな文脈で証明され、以前のループ群およびゲージ群に関する結果が明確にされる。