[論文レビュー] Differentiable cyclic cohomology and Hopf algebraic structures in transverse geometry

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|Feb 20, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、多様体のフレーム bundle における微分同相変換下での横断的微分作用素に関連する拡張されたホップ代数 $\mathcal{H}_{FM}$ の周期的ホップ循環コホモロジーと、形式的ベクトル場のゲルファンド＝フクスコホモロジーとの間に、標準的な同型写像を確立する。この同型写像は、捩れのない接続から構成されたコチェーン写像によって実現され、曲がりのある場合の超擬似的シグニチャ作用素の横断的インデックス公式を、横断的平坦性を仮定しない直接的で幾何的な扱いが可能になる。

ABSTRACT

We prove a cyclic cohomological analogue of Haefliger's van Est-type theorem for the groupoid of germs of diffeomorphisms of a manifold. The differentiable version of cyclic cohomology is associated to the algebra of transverse differential operators on that groupoid, which is shown to carry an intrinsic Hopf algebraic structure. We establish a canonical isomorphism between the periodic Hopf cyclic cohomology of this extended Hopf algebra and the Gelfand-Fuchs cohomology of the Lie algebra of formal vector fields. We then show that this isomorphism can be explicitly implemented at the cochain level, by a cochain map constructed out of a fixed torsion-free linear connection. This allows the direct treatment of the index formula for the hypoelliptic signature operator - representing the diffeomorphism invariant transverse fundamental $K$-homology class of an oriented manifold - in the general case, when this operator is constructed by means of an arbitrary coupling connection.

研究の動機と目的

• 横断的平坦性の条件を超えて、曲率をコホモロジー枠組みに組み込むことで、横断的インデックス定理を一般化すること。
• 多様体上の微分同相写像の芽の群ガロアの微分可能な循環コホモロジー理論を、'厚く拡張された'ホップ代数 $\mathcal{H}_{FM}$ を用いて、曲率を組み込む形で構築すること。
• 周期的ホップ循環コホモロジーと形式的ベクトル場のゲルファンド＝フクスコホモロジーとの間の同型写像を、コチェーンレベルで実現すること。
• 葉層理論における古典的チェーン類および第二類の類の循環コホモロジー代表元を、幾何的で接続依存する方法で構成すること。

提案手法

• 多様体 $M$ のフレーム bundle に作用する $FM \rtimes \Gamma_M$ のエタール群ガロア上での、変数係数の横断的微分作用素の代数として、拡張ホップ代数 $\mathcal{H}_{FM}$ を導入する。
• $\mathcal{R}_{FM} = C^\infty(FM)$ 上の双加法的加群として $\mathcal{H}_{FM}$ を定義し、$\mathcal{R}_{FM}$ 上のテンソル積へのコプロダクトを備えることで、標準的ホップ構造を一般化する。
• 固定された捩れのない線形接続から明示的に構成された、$\mathcal{H}_{FM}$ の周期的ホップ循環コホモロジーから形式的ベクトル場のゲルファンド＝フクスコホモロジーへの標準的なコチェーン写像を構成する。
• 主 bundle $PM$ 上の超擬似的解析学を用いて、スペクトル三重対を定義し、作用素トレースとウォドジツキ・リーマン積分を含む局所インデックス公式により、チェーン類を計算する。
• 超擬似的シグニチャ作用素 $Q = D|D|$ のチェーン類に対応するコチェーンが、相対 Lie 代数コホモロジー $H^*({\mathfrak{a}}_n, SO(n))$ からの特徴写像の像に属することを示し、接続形式および曲率形式を用いて表現する。
• 横断的インデックスを表すコチェーンが、$FM \rtimes \Gamma_M$ のジャンプ群ガロア上での接続形式 $\omega_\nabla$、曲率形式 $\Omega_\nabla$、および移動関数 $\gamma_{jk}^i$、$\gamma_{jk,\ell}^i$ から構成されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横断的平坦性を仮定しない一般の場合に、超擬似的作用素の横断的インデックス公式を曲率を組み込むことで拡張できるか？
• RQ2 自然に拡張されたホップ代数 $\mathcal{H}_{FM}$ の周期的ホップ循環コホモロジーと、形式的ベクトル場のゲルファンド＝フクスコホモロジーとの間に、標準的な同型写像が存在するか？
• RQ3 この同型写像は、捩れのない接続などの幾何的データを用いて、コチェーンレベルで実装可能か？
• RQ4 超擬似的シグニチャ作用素のチェーン類は、$\mathcal{H}_{FM}$ の循環コホモロジーにおいて、接続形式および曲率形式の形でどのように表現できるか？
• RQ5 移動関数 $\gamma_{jk}^i$ および $\gamma_{jk,\ell}^i$ は、古典的特徴類の循環コホモロジー的双対を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 周期的ホップ循環コホモロジーと、$\mathbb{R}^n$ 上の形式的ベクトル場の Lie 代数のゲルファンド＝フクスコホモロジーとの間に、標準的な同型写像が確立された。また、$SO(n)$ 相対バージョンについても同様に成立する。
• この同型写像は、底面多様体 $M$ 上の捩れのない線形接続から明示的に構成された写像によって、コチェーンレベルで実現され、コホモロジー的対応の幾何的実現が可能になる。
• 超擬似的シグニチャ作用素 $Q = D|D|$ のチェーン類は、普遍類 $\mathcal{L}_n \in H^*({\mathfrak{a}}_n, SO(n))$ からの特徴写像の像として示され、横断的インデックス定理が完全に一般化されることを証明する。
• 横断的インデックスを表すコチェーンは、接続形式 $\omega_\nabla$、曲率形式 $\Omega_\nabla$、およびジャンプ群ガロア上での移動関数 $\gamma_{jk}^i$、$\gamma_{jk,\ell}^i$ から構成され、特徴類の直接的な幾何的構成が可能になる。
• 本手法により、横断的平坦性を仮定しないインデックス公式の計算が可能となり、従来の定式化における主要な幾何的制約が取り除かれる。
• コチェーン写像により、インデックス公式が微分同相変換に対して不変であることが保証され、多様体の横断的基本 $K$-ホモロジー類の要請を満たす。