[論文レビュー] Differentiable structures on metric measure spaces: A Primer

Bruce Kleiner, John Mackay|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、測度付き距離空間における可測微分構造についての洗練された導入を提供し、双曲的空間にPoincaré不等式が成り立つならば、有限次元の可測微分構造が存在することを確立している。主な結果は、任意のリプシッツ関数が、リプシッツ関数によって定義された座標パッチに関してほとんど everywhere で微分可能であることを示しており、これはユークリッド空間を超えたラデマッハの定理の一般化である。

ABSTRACT

This is an exposition of the theory of differentiable structures on metric measures spaces, in the sense of Cheeger and Keith.

研究の動機と目的

• 測度付き距離空間におけるチーラーの可測微分構造理論について、明快でアクセスしやすい説明を提供すること。
• チーラーとキースの基礎的証明、特にPoincaré不等式および双曲的条件の下での微分構造の構成を明確化し、簡素化すること。
• Poincaré不等式の存在が微分構造の有限次元性を示すことを確立すること。
• Poincaré不等式がリプシッツ下位分布（Lip-lip）不等式を示すことを示し、これが微分可能性に不可欠であることを示すこと。
• Poincaré不等式が、空間の構造に重要な幾何的性質である擬凸性を示すことを示すこと。

提案手法

• 可算個の座標パッチを用いて定義される可測微分構造の使用、各パッチは有限個のリプシッツ関数のタプルで構成される。
• Poincaré不等式を用いて、球上で積分平均によるリプシッツ関数の変動を制御すること。
• Poincaré不等式を用いてLip-lip不等式を確立し、点でのリプシッツ定数と変動の制御を結びつけること。
• 被覆論法とダイアディック分解を用いて、近接する点における関数値を球の鎖を通じて関連付けること。
• 上付き勾配とPoincaré不等式を用いて、球の鎖を介した関数の変動をバウンドすること。
• Poincaré不等式を切り詰めた距離関数に適用し、長さが制御されたε-経路の存在を用いて、擬凸性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度付き距離空間に可測微分構造が存在するための条件は何か？
• RQ2 Poincaré不等式が微分構造の有限次元性をどのように示すのか？
• RQ3 Lip-lip不等式と微分構造の存在との関係は何か？
• RQ4 Poincaré不等式が双曲的測度付き距離空間においてどのように擬凸性を示すのか？
• RQ5 滑らかさの構造のない空間において、リプシッツ関数のほとんど everywhere での微分可能性を保証できるか？

主な発見

• p-Poincaré不等式を満たす双曲的測度付き距離空間は、双曲的定数とPoincaré定数にのみ依存する定数によって上から有界な次元を持つ可測微分構造を備える。
• Poincaré不等式の存在はLip-lip不等式を示し、リプシッツ関数の点でのリプシッツ定数を用いてその変動を制御することを可能にする。
• Lip-lip不等式は、任意のリプシッツ関数が座標パッチに関してほとんど everywhere で微分可能であることを保証するのに十分である。
• Poincaré不等式は、空間が擬凸的であることを示す。つまり、任意の2点は、距離のuniform倍以内の長さを持つrectifiable経路で結べる。
• 構成により、リプシッツ関数の微分は測度零集合を除き一意に定まり、構造は距離および測度と整合的である。