[論文レビュー] Differential bundles and fibrations for tangent categories

J.R.B. Cockett, G. S. H. Cruttwell|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、スカラー乗法や局所自明性を仮定しない微分可能ベクトル bundle の一般化として、接カテゴリにおける微分可能バンドルおよびファイブレーションを導入する。表示接カテゴリにおいて、微分可能バンドルはファイバー付きカテゴリにおける微分可能対象に対応し、微分可能バンドルのファイブレーションが一貫性のある微分接ファイブレーションを形成することを示し、カルテジアン微分カテゴリと接カテゴリをファイブレーション構造を通じて統合する。

ABSTRACT

Tangent categories are categories equipped with a tangent functor: an endofunctor with certain natural transformations which make it behave like the tangent bundle functor on the category of smooth manifolds. They provide an abstract setting for differential geometry by axiomatizing key aspects of the subject which allow the basic theory of these geometric settings to be captured. Importantly, they have models not only in classical differential geometry and its extensions, but also in algebraic geometry, combinatorics, computer science, and physics. This paper develops the theory of "differential bundles" for such categories, considers their relation to "differential objects", and develops the theory of fibrations of tangent categories. Differential bundles generalize the notion of smooth vector bundles in classical differential geometry. However, the definition departs from the standard one in several significant ways: in general, there is no scalar multiplication in the fibres of these bundles, and in general these bundles need not be locally trivial. To understand how these differential bundles relate to differential objects, which are the generalization of vector spaces in smooth manifolds, requires some careful handling of the behaviour of pullbacks with respect to the tangent functor. This is captured by "transverse" and "display" systems for tangent categories, which leads one into the fibrational theory of tangent categories. A key example of a tangent fibration is provided by the "display" differential bundles of a tangent category with a display system. Strikingly, in such examples the fibres are Cartesian differential categories demonstrating a -- not unexpected -- tight connection between the theory of these categories and that of tangent categories.

研究の動機と目的

• 微分幾何学における滑らかなベクトルバンドルの概念を、スカラー乗法や局所自明性を仮定しない抽象的接カテゴリへ一般化すること。
• 接カテゴリにおける微分可能バンドルと微分可能対象（ベクトル空間の一般化）との間の関係を明確にすること。
• 横断的および表示系を用いたファイブレーション理論を発展させ、接カテゴリの構造的整合性を実現すること。
• 表示接カテゴリにおいて、微分可能バンドルのファイブレーションが一貫性のある微分構造を引き継ぐことの証明

提案手法

• 微分可能バンドルを、古典的微分幾学における垂直上昇写像を一般化する公理を満たす加法的バンドルとして導入する。
• 横断的および表示系を用いて、引き戻しと接ファンクターの相互作用を管理し、接構造と整合性を保つ。
• 接ファイブレーションを定義し、表示接カテゴリ上の微分可能バンドルのファイブレーションが微分接ファイブレーションを形成することを示す。
• 代入ファンクターと引き戻しを用いて、微分可能バンドルが基底変換のもとで保存されることを示し、古典的な引き戻し不変性を一般化する。
• 表示接カテゴリにおけるバンドルファイブレーションの各ファイバーがカルテジアン接カテゴリであることを確立し、内部的な微分構造を可能にする。
• 公理 [CDS.1] および [CDS.2] を用いて微分構造の整合性を証明し、ホイットニー和および局所的垂直接バンドルが必要な整合性条件を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー乗法や局所自明性を仮定しない接カテゴリにおいて、どのようにしてベクトルバンドルを抽象的に一般化できるか？
• RQ2 接カテゴリにおける微分可能バンドルと微分可能対象との間の明確な関係は何か？
• RQ3 引き戻しと接ファンクターの間の相互作用はどのように機能するか？この相互作用を制御する構造は何か？
• RQ4 微分可能バンドルのファイブレーションが一貫性のある微分構造を引き継ぐための条件は何か？
• RQ5 接カテゴリにおける表示系は、微分可能バンドルのファイブレーション的取り扱いやその整合性をどのように可能にするか？

主な発見

• 接カテゴリにおける微分可能バンドルは、スカラー乗法や局所自明性を必要とせず、特定の公理を満たす垂直上昇写像に依存することで、滑らかなベクトルバンドルを一般化する。
• 表示接カテゴリにおいて、対象 M 上の微分可能バンドルは、バンドルファイブレーションにおける M 上のファイバーカテゴリにおける微分可能対象にちょうど一致する。
• 表示接カテゴリにおけるバンドルファイブレーションの各ファイバー自体がカルテジアン接カテゴリであることが保証され、内部的な微分構造が可能になる。
• 表示接カテゴリ上の微分可能バンドルのファイブレーションは、公理 [CDS.1] および [CDS.2] を満たす一貫性のある微分接ファイブレーションを形成する。
• 微分可能バンドルの引き戻しは基底変換のもとで保存され、これはファイバードカテゴリ間の強い接ファンクターを用いた概念的証明により示される。
• ゼロ切断に沿った代入を用いた局所的垂直接バンドルの構成は、整合性条件 [CDS.2] を満たし、微分構造の整合性を保証する。