[論文レビュー] Differential calculus and connections on a quantum plane at a cubic root of unity

Robert Coquereaux, Ariel García+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、q³=1 における U_q(sl(2,C)) の商（dim H=27, N=3 のとき）である有限次元量子群 H が作用する、N×N 行列代数として実現された縮約量子平面としての代数を用いて、1の立方根における量子平面における微分積分法を構築する。この微分積分法において1形式として接続を導入し、H による変換性を調べ、時空形式とテンソル積をとることで、ローレンツ群および量子群対称性の両方に共変な一般化された接続が得られ、有限量子群不変性を有する非可換幾何学の枠組みが提供される。

ABSTRACT

We consider the algebra of N x N matrices as a reduced quantum plane on which a finite-dimensional quantum group H acts. This quantum group is a quotient of U_q(sl(2,C)), q being an N-th root of unity. Most of the time we shall take N=3; in that case \dim(H) = 27. We recall the properties of this action and introduce a differential calculus for this algebra: it is a quotient of the Wess-Zumino complex. The quantum group H also acts on the corresponding differential algebra and we study its decomposition in terms of the representation theory of H. We also investigate the properties of connections, in the sense of non commutative geometry, that are taken as 1-forms belonging to this differential algebra. By tensoring this differential calculus with usual forms over space-time, one can construct generalized connections with covariance properties with respect to the usual Lorentz group and with respect to a finite-dimensional quantum group.

研究の動機と目的

• N×N 行列代数を縮約量子平面として実現することにより、1の立方根における量子平面における微分積分法を構築すること。
• q³=1 における U_q(sl(2,C)) の商（q が N 乗根）である有限次元量子群 H がこの微分代数に作用する様子を調べること。
• 非可換幾何学の観点から、この微分積分法における1形式として接続を定義し、その性質を分析すること。
• 微分積分法を時空形式とテンソル積することで、ローレンツ群および量子群対称性の両方に共変な一般化された接続を構成すること。
• 表現論的手法を用いて、微分代数を量子群 H の既約表現に分解すること。

提案手法

• q が N 乗根であるときの U_q(sl(2,C)) の商である量子群 H が作用する N×N 行列代数を、縮約量子平面として実現する。
• Wess-Zumino複体の商として微分積分法を構成し、量子群作用と整合性を持つようにする。
• 非可換幾何学の公理に整合する形で、この微分積分法内での1形式として接続を定義する。
• 特性指標理論および表現分解技法を用いて、微分代数を H の既約表現に分解する。
• 微分積分法を時空の微分形式とテンソル積により組み合わせ、ローレンツ群および量子群 H 両方の対称性に対して共変な一般化された接続を生成する。
• H の表現論を用いて、得られた接続の構造および変換性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N×N 行列代数として実現された代数を用いたとき、1の立方根における量子平面に一貫して微分積分法を定義する方法は何か？
• RQ2 有限次元量子群 H の作用下での微分代数の構造はどのようなものであり、それが既約表現にどのように分解されるか？
• RQ3 非可換幾何学の観点で定義された接続が、この微分積分法の要素である場合、その性質はいかなるものか？
• RQ4 微分積分法を時空形式とテンソル積することで得られる一般化された接続は、ローレンツ群および量子群対称性の両方に対してどのように変換されるか？
• RQ5 q³=1 における U_q(sl(2,C)) の商である量子群 H は、微分構造および接続理論をどのように整理・統合する役割を果たすか？

主な発見

• Wess-Zumino複体の商として構築された量子平面における微分積分法は、量子群作用と整合性を持ち、明確な非可換微分構造を提供する。
• N=3 のとき次元が27である量子群 H は微分代数に作用し、表現論的手法によりその既約表現への分解が明示的に分析された。
• 微分積分法内の1形式として定義された接続は、H の作用のもとで変換性を有し、有限量子群対称性を有する非可換幾何学的枠組みを実現する。
• 微分積分法を時空の微分形式とテンソル積することで、ローレンツ群および有限量子群 H 両方に共変な一般化された接続が得られた。
• 量子群対称性と時空のローレンツ共変性が共存する統一的ゲージ理論的枠組みが実現され、非可換幾何学におけるゲージ理論の新しいアプローチが提供された。
• 最終版の論文（Rev. Math. Phys. 12 (2000), 227–285）には、表現分解および接続性質の修正と洗練された分析が含まれている。