[論文レビュー] Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds

Charles-Michel Marle|ArXiv.org|Apr 15, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、接 bundle および余接 bundle の枠組みを超えて、外微分、リー微分、シューテン＝ニーレンブルー括弧の一般化を含む、リー代数的バンドル上の微分積分学の包括的な理論を展開する。Poisson多様体の余接 bundle が自然にリー代数的バンドル構造を持つこと、および双対 bundle $E^*$ 上のPoisson構造がファイバーごとの同調変換ベクトル場の下で同次的であることを示し、$[Z, \Lambda] = -\Lambda$ を満たす。これにより、Poisson幾何における幾何的構造が統一される。

ABSTRACT

A Lie algebroid over a manifold is a vector bundle over that manifold whose properties are very similar to those of a tangent bundle. Its dual bundle has properties very similar to those of a cotangent bundle: in the graded algebra of sections of its external powers, one can define an operator similar to the exterior derivative. We present in this paper the theory of Lie derivatives, Schouten-Nijenhuis brackets and exterior derivatives in the general setting of a Lie algebroid, its dual bundle and their exterior powers. All the results (which, for their most part, are already known) are given with detailed proofs. In the final sections, the results are applied to Poisson manifolds.

研究の動機と目的

• 接 bundle および余接 bundle の枠組みを超えて、リー代数的バンドルの文脈において、外微分、リー微分、シューテン＝ニーレンブルー括弧の古典的微分積分学を一般化すること。
• 一般のリー代数的バンドルの枠組みにおいて、既知の結果を詳細かつ自己完結的に証明し、標準的微分幾何学との構造的類似性を明確にすること。
• 発展した理論をPoisson多様体に応用し、それらの余接 bundle がPoisson双対ベクトル場から自然にリー代数的バンドル構造を引き継ぐことの証明。
• 双対 bundle $E^*$ 上のPoisson構造の幾何的性質、特にファイバーごとの同調変換ベクトル場の下での同次性の確立。
• アングル写像 $\,{}^{t}\!\rho: T^*M \to E^*$ の転置が、$T^*M$ 上の標準的シンプレクティック構造と $E^*$ 上のPoisson構造の間でPoisson写像であることを示すこと。

提案手法

• リー代数的バンドルを、多様体 $M$ 上のベクトルバンドル $E$ に、その滑らかな切断にLie括弧と、Leibniz則を満たすバンドル写像 $\rho: E \to TM$ を備えたものとして形式的に定義する。
• 滑らかな関数と切断に対して、$\{s_1, fs_2\} = f\{s_1, s_2\} + (i(\rho \circ s_1)df)s_2$ のLeibniz型公式を導出する。
• 双対バンドル $E^*$ の外冪の切断の階数付き代数上に、外微分 $d_E$ を構成し、古典的de Rham微分を一般化する。
• リー代数的バンドル上の多ベクトル場に於けるシューテン＝ニーレンブルー括弧を定義・研究し、古典的括弧を一般化する。
• 双対バンドル $E^*$ 上のPoisson双対ベクトル場 $\Lambda$ が $[Z, \Lambda] = -\Lambda$ を満たすことを証明する。ここで $Z$ はファイバーごとの同調変換を生成する。
• ベクトル場 $Z$ のフロー $H_t$ における引き戻し $H_t^*$ を用いて $H_t^*\Lambda = e^{-t}\Lambda$ を示し、Lie微分の恒等式 $[Z, \Lambda] = -\Lambda$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体上の古典的微分積分学を、特に外微分とリー微分の観点から、接 bundle および余接 bundle の枠組みを超えてリー代数的バンドルの文脈に一般化する方法は何か？
• RQ2 リー代数的バンドルおよびその双対の文脈におけるシューテン＝ニーレンブルー括弧の正確な構造は何か？
• RQ3 Poisson多様体の余接 bundle は、Poisson双対ベクトル場からどのようにリー代数的バンドル構造を引き継ぐのか？
• RQ4 双対 bundle $E^*$ 上のPoisson構造は、ファイバーごとの同調変換ベクトル場 $Z$ の下で同次的であるか？もしそうならば、正確なLie微分関係式は何か？
• RQ5 アングル写像 $\,{}^{t}\!\rho: T^*M \to E^*$ の転置は、$T^*M$ 上の標準的シンプレクティック構造と $E^*$ 上のPoisson構造の間でPoisson写像であるか？

主な発見

• リー代数的バンドル上でのシューテン＝ニーレンブルー括弧は、古典的括弧を一般化し、一貫性のあるLeibniz型恒等式を満たす。
• $E^*$-値微分形式の階数付き代数上での外微分 $d_E$ は $d_E^2 = 0$ を満たし、リー代数的バンドルへのde Rham複体の一般化を実現する。
• 双対バンドル $E^*$ 上のPoisson構造は、ファイバーごとの同調変換ベクトル場 $Z$ の下で同次的であり、$[Z, \Lambda] = -\Lambda$ を満たす。これは $H_t$ のフローによる引き戻しを用いて証明される。
• アングル写像 $\,{}^{t}\!\rho: T^*M \to E^*$ の転置はPoisson写像であり、任意の $E^*$ 上の滑らかな関数 $h_1, h_2$ に対して $\{h_1 \circ \,{}^{t}\!\rho, h_2 \circ \,{}^{t}\!\rho\} = \{h_1, h_2\} \circ \,{}^{t}\!\rho$ を満たす。
• 双対バンドル $E^*$ 上のPoisson双対ベクトル場 $\Lambda$ は $H_t^*\Lambda = e^{-t}\Lambda$ を満たす。ここで $H_t$ は同調変換ベクトル場 $Z$ のフローである。これにより同次性の性質が確認される。