[論文レビュー] Differential Calculus on Quantum Complex Grassmann Manifolds I: Construction

Stefan Kolb|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子ベクトル空間上の微分計算の複素化および局所化を用いて、量子複素グラスマン多様体上に標準的な共変第一階微分計算を構成する。量子同調座標環上には、ちょうど2つのこのような計算が存在することが証明され、Pusz–Woronowiczの分類を一般化する。また、トートロジカルバンドルの $q$-deformed チェーン類を確立し、変形のもとでもコhomological不変性を示す。

ABSTRACT

Covariant first order differential calculus over quantum complex Grassmann manifolds is considered. It is shown by a Pusz-Woronowicz type argument that under restriction to calculi close to classical Kaehler differentials there exist exactly two such calculi for the homogeneous coordinate ring. Complexification and localization procedures are used to induce covariant first order differential calculi over quantum Grassmann manifolds. It is shown that these differential calculi behave in many respects as their classical counterparts. As an example the q-deformed Chern character of the tautological bundle is constructed. Keywords: Quantum groups, quantum spaces, quantum Grassmann manifolds, differential calculus

研究の動機と目的

• 量子複素グラスマン多様体 $\mathcal{O}_q(\mathrm{Gr}(r,N))$ 上に標準的な共変第一階微分計算を構築すること。
• 量子ベクトル空間から量子グラスマン多様体へと、Pusz–Woronowiczの微分計算分類を一般化すること。
• 統一的な枠組みを用いて、量子平面の微分計算とPodleśの量子2次球面上の微分計算を結びつけること。
• 既知のモジュール構造を持つ微分計算を構築することで、非可換幾何学における明示的計算を可能にすること。
• 普遍微分計算におけるトートロジカルバンドルの $q$-deformed チェーン類を定義し、計算すること。

提案手法

• $q$-空間上の第一階微分計算に対して複素化および局所化手続きを導入し、$\mathcal{O}_q(\mathcal{V}_r)$ と $\mathcal{O}_q(\mathrm{Gr}(r,N))$ を関連付ける。
• $U_q(\mathfrak{sl}_N)$-モジュール構造の下で $\mathcal{O}_q(\mathcal{V}_r)$ 上のすべての共変第一階微分計算を分類し、ちょうど2つが存在することを示す。
• $R$-行列と量子群表現論を用いた図式的計算により、テンソル積内の準同型を簡略化および計算する。
• 微分計算 $\Gamma^1_q(\mathrm{Gr}(r,N))$ を $\mathcal{O}_q(\mathcal{V}_r)$ 上の複素化された計算の局所化として構成する。
• $\mathcal{O}_q(\mathrm{Gr}(r,N))$ 内で生成子と関係式を用いて $q$-deformed トートロジカルバンドルを定義し、そのチェーン類を計算する。
• $q$-deformed チェーン類が普遍高階微分計算内の閉じた中心的微分形式の和として成り立つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子複素グラスマン多様体上に、標準的な共変第一階微分計算をどのように構築できるか？
• RQ2 $\mathcal{O}_q(\mathcal{V}_r)$ 上の共変第一階微分計算の分類は何か？
• RQ3 複素化および局所化手続きは、量子設定において代数から微分計算へとどのように拡張されるか？
• RQ4 トートロジカルバンドルの $q$-deformed チェーン類は、適切に定義されており、コhomologically 不変か？
• RQ5 量子グラスマン多様体のコホモロジー環は、変形パrameter $q$ に依存しないか？

主な発見

• $U_q(\mathfrak{sl}_N)$-モジュール構造の下で、$\mathcal{O}_q(\mathcal{V}_r)$ 上にはちょうど2つの共変第一階微分計算が存在し、Pusz–Woronowiczの結果を一般化する。
• 微分計算 $\Gamma^1_q(\mathrm{Gr}(r,N))$ は複素化および局所化を用いて構成され、$r=1$, $N=2$ の場合に $S^2_{q0}$ 上のPodleśの計算と同型である。
• 左モジュールとして、$\Gamma^1_q(\mathrm{Gr}(r,N))$ は $\mathcal{O}_q(\mathrm{Gr}(r,N))$ の生成子の微分によって自由に生成される。
• [Her] の意味で $\Gamma^1_q(\mathrm{Gr}(r,N))$ の次元が推定され、古典的期待と整合する有限次元構造であることが示される。
• トートロジカルバンドルの $q$-deformed チェーン類は、普遍高階微分計算内の閉じた中心的微分形式の和として構成される。
• 量子グラスマン多様体のコホモロジー環は、$q$ に依存しないと予想される。なぜなら、チェーン類の形式が中心的かつ閉じているからである。