[論文レビュー] Differential Chow Form for Projective Differential Variety

Wei Li, Xiao-Shan Gao|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非可約射影微分代数的多様体に対して微分チャウ形式を確立する。そのために、一般交差定理を証明する。すなわち、次元 $d > 0$ で順序 $h$ の非可約射影微分代数的多様体と一般の射影微分超平面の交わりは、次元 $d-1$ で順序 $h$ の非可約多様体をもたらす。次に、微分チャウ形式を定義し、それがコルキンが述べた射影多様体上の線形従属条件を符号化することを示す。これにより、古典的チャウ形式理論が微分射影的設定に一般化される。

ABSTRACT

In this paper, a generic intersection theorem in projective differential algebraic geometry is presented. Precisely, the intersection of an irreducible projective differential variety of dimension d>0 and order h with a generic projective differential hyperplane is shown to be an irreducible projective differential variety of dimension d-1 and order h. Based on the generic intersection theorem, the Chow form for an irreducible projective differential variety is defined and most of the properties of the differential Chow form in affine differential case are established for its projective differential counterpart. Finally, we apply the differential Chow form to a result of linear dependence over projective varieties given by Kolchin.

研究の動機と目的

• アフィンから射影微分代数幾何に至る微分チャウ形式理論を拡張すること。
• 特に、一般超平面切断における次元と順序に関して、射影微分代数幾何の基礎的結果を確立すること。
• リットの射影多様体上での線形従属に関する remark における微分多項式 $h$ が、対応する射影微分代数的多様体の微分チャウ形式に丁度一致することを証明すること。
• 新しく導入された微分チャウ形式を用いて、コルキンの射影多様体上での線形従属に関する結果に微分幾何的解釈を与えること。

提案手法

• 非可約射影微分代数的多様体の次元が $d > 0$ で順序が $h$ であるものと、一般の射影微分超平面の交わりが次元 $d-1$ で順序 $h$ である多様体をもたらす、一般交差定理を証明する。
• 非可約射影微分代数的多様体の微分チャウ形式を、一般の線形形式に関して定義する微分イデアルの飽和として定義する。
• コルキンが開発した、射影微分空間における微分同次多項式イデアルとその零点集合の理論を用いる。
• 微分代数におけるグレブナー基底に類似た技法を用い、定義イデアルの構造と一般超平面に関するその還元を分析する。
• 古典的代数的チャウ形式に類似した微分チャウ形式の性質を確立する。特に、射影変換に関して不変であることと、飽和の性質を示す。
• 微分同次多項式の初期項と分離因子を用いて、定義方程式とその導関数の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約射影微分代数的多様体と一般の射影微分超平面の交わりは、可約性を保ち、次元を1つ減らし、順序を変化させないか？
• RQ2 古典的チャウ形式の概念を射影微分代数幾何の文脈に一般化できるか。その場合、どのような性質を保っているか？
• RQ3 リットの射影多様体上での線形従属に関する remark における微分多項式 $h$ は、対応する多様体の微分チャウ形式と等価か？
• RQ4 チャウ形式の微分飽和が、古典的場合と同様に、微分超平面との交わりの必要十分条件を提供するか？

主な発見

• 次元 $d > 0$ で順序 $h$ の非可約射影微分代数的多様体と一般の射影微分超平面の交わりは、次元 $d-1$ で順序 $h$ の非可約多様体をもたらす。これにより、重要な一般交差定理が確立される。
• 射影微分代数的多様体の微分チャウ形式は、一般の線形形式に関して定義イデアルの飽和として定義され、古典的チャウ形式の多くを微分的設定で継承する。
• リットの射影多様体上での線形従属に関する remark における微分多項式 $h$ が、対応する射影微分代数的多様体の微分チャウ形式に丁度一致することが示された。
• 補題 5.4 は、微分超平面 $\sum u_{0j}y_j = 0$ が多様体 $V^\delta$ と交わるための必要十分条件が、$F = 0$ の一般解に属する特殊化 $(v_{00}, \dots, v_{0n})$ であること、ここで $F$ は射影微分チャウ形式であると述べている。
• 本稿では、一般の射影微分代数的多様体に関して、チャウ形式の微分飽和イデアルが、微分超平面との交わりの必要十分条件を与えると予想している。これは古典的結果を微分射影的設定に拡張するものである。