[論文レビュー] Differential equations, duality and modular invariance

Yi-Zhi Huang|ArXiv.org|Mar 5, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$C_2$-cofiniteness、完全可約性、順序付け条件を満たす頂点 operator 代数において、双曲型ゼロのデータからねじれ型 genus-one 相関関数を構成する新しい手法を確立する。$q$-トレースが正則特異点を持つモジュラー不変微分方程式を満たすことを証明し、交換子公式に依存せずに、初めて完全なモジュラー不変性と双対性を達成する。

ABSTRACT

We solve the problem of constructing all chiral genus-one correlation functions from chiral genus-zero correlation functions associated to a vertex operator algebra satisfying the following conditions: (i) the weight of any nonzero homogeneous elements of V is nonnegative and the weight zero subspace is one-dimensional, (ii) every N-gradable weak V-module is completely reducible and (iii) V is C_2-cofinite. We establish the fundamental properties of these functions, including suitably formulated commutativity, associativity and modular invariance. The method we develop and use here is completely different from the one previously used by Zhu and other people. In particular, we show that the $q$-traces of products of certain geometrically-modified intertwining operators satisfy modular invariant systems of differential equations which, for any fixed modular parameter, reduce to doubly-periodic systems with only regular singular points. Together with the results obtained by the author in the genus-zero case, the results of the present paper solves essentially the problem of constructing chiral genus-one weakly conformal field theories from the representations of a vertex operator algebra satisfying the conditions above.

研究の動機と目的

• 頂点 operator 代数におけるねじれ型 genus-one 相関関数を genus-zero データから構成する長年の問題を解決すること。
• 自然な代数的条件下で、これらの相関関数に対するモジュラー不変性、結合則、交換則を確立すること。
• Zhu の交換子に基づくアプローチに依存しない、一般の相互作用演算子に適用可能な新しい手法を提供すること。
• $q$-トレースが幾何的に修正された相互作用演算子の積に対して、モジュラー不変微分方程式系を満たすことを証明すること。
• モジュールのリボンテンソルカテゴリの Verlinde 猜測および剛性を証明する基盤を築くこと。

提案手法

• モジュラーパラメータ依存性を符号化するために、幾的に修正された相互作用演算子を導入する。
• そのような演算子の積の $q$-トレースのための微分方程式系 (3.5)–(3.6) を導出する。係数は $1$ および $\tau$ に関して二重周期的である。
• genus-one 結合則 (定理 4.3) を用いて、異なる点における相関関数を関連づけ、帰納的構成を可能にする。
• 演算子の数に関する帰納法を適用し、収束性および解空間 $\mathcal{F}_{w_1,\dots,w_{n+1}}$ への属性を証明する。
• 固定された $q = q_\tau$ に対して特異点が正則であることを利用し、解が適切に定義されることを保証する。
• 解が、穴あき genus-one 曲線のモジュライ空間上の平坦接続を持つベクトルバンドルの（多価関数の）全体的切断に対応することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交換子公式に依存せずに、genus-zero データからねじれ型 genus-one 相関関数を構成できるか？
• RQ2 幾的に修正された相互作用演算子の積の $q$-トレースは、モジュラー不変微分方程式を満たすか？
• RQ3 これらの微分方程式の解空間は、genus-one 結合則および双対性に関して閉じているか？
• RQ4 $C_2$-cofiniteness および完全可約性の下で、一般の相関関数についてモジュラー不変性を証明できるか？
• RQ5 微分方程式系の解空間の幾何的解釈は、モジュライ空間の観点からどのように記述できるか？

主な発見

• 幾的に修正された相互作用演算子の積の $q$-トレースは、正則特異点のみをもつモジュラー不変微分方程式系を満たす。
• 任意の固定された $q = q_\tau$ に対して、この系は正則特異点をもつ二重周期的系に還元され、収束性と解析性が保証される。
• genus-one 結合則（定理 4.3）を用いて、帰納的に相関関数が解空間 $\mathcal{F}_{w_1,\dots,w_{n+1}}$ に属することを証明する。
• 提示された条件下で、すべてのねじれ型 genus-one 相関関数についてモジュラー不変性が確立され、Zhu の結果が一般化される。
• 微分方程式系の解空間は、穴あき genus-one リーマン面のモジュライ空間上の平坦接続を持つベクトルバンドルの（多価関数の）全体的切断の空間と同定される。
• 本手法は交換子公式の必要性を回避し、頂点演算子に限らない一般の相互作用演算子に対しても構成が可能になる。