[論文レビュー] Differential forms and the Wodzicki residue

William J. Ugalde|ArXiv.org|Nov 22, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、境界のない偶数次元コンフォーマル多様体上で、0次擬微分作用素 $S$ の交換子に関するWodzickiトレースから構成される微分形式 $\Omega_{n,S}$ を導入する。$\Omega_{n,S}$ が引数に関して対称であることを示し、平坦な場合のFredholmモジュール作用素 $F$ の全記号を用いて明示的な公式を与える。この形式は、GJMS作用素のようなコンフォーラル不変作用素への応用を持つ。

ABSTRACT

For a pseudodifferential operator $S$ of order 0 acting on sections of a vector bundle $B$ on a compact manifold $M$ without boundary, we associate a differential form of order dimension of $M$ acting on $C^\infty(M) imes C^\infty(M)$. This differential form $Ω_{n,S}$ is given in terms of the Wodzicki 1-density $\wres([S,f][S,h])$. In the particular case of an even dimensional, compact, conformal manifold without boundary, we study this differential form for the case $(B,S)=(\cH,F)$, that is, the Fredholm module associated by A. Connes to the manifold $M.$ We give its explicit expression in the flat case and then we address the general case.

研究の動機と目的

• 0次擬微分作用素 $S$ を用いて、コンパクトで偶数次元、コンフォーラルな多様体上に微分形式 $\Omega_{n,S}$ を定義すること。
• 作用素 $S$ が多様体に関連するFredholmモジュール作用素 $F$ であるとき、$\Omega_{n,S}$ が $f$ と $h$ に関して対称であることを証明すること。
• 平坦な場合における $F$ の主要記号を計算し、$\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$ のテイラー展開を用いて $\Omega_n$ を明示的に表現すること。
• 一般化された形式 $\Omega_n(f,h) = Q_n(df,dh) + Q_{R,n}(df,dh)$ を平坦および曲がった場合の両方で得られ、高次元における先行研究の厳密な基礎を確立すること。
• $F$ の記号が計量の偏微分にどのように依存するかを示し、平坦でないコンフォーラル多様体への結果の一般化を支援すること。

提案手法

• 微分形式 $\Omega_{n,S}$ はWodzickiトレースの恒等式により定義される：$\operatorname{Wres}(f_0[S,f][S,h]) = \int_M f_0 \Omega_{n,S}(f,h)$ であり、これはトレースを多様体上の積分に結びつける。
• この構成は、特に $\mathcal{L}_k$ 型記号を用いた擬微分作用素の積の全記号公式に依存する。
• 平坦な場合、$\Omega_n$ は、$\sigma_L^F(\xi)\sigma_L^F(\eta)$ のトレースから得られ、$\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$ の対角近傍におけるテイラー展開を用いる。
• 一般の場合、$\Omega_n(f,h)$ は $Q_n(df,dh) + Q_{R,n}(df,dh)$ として表現され、$Q_n$ は平坦な場合と一致し、$Q_{R,n}$ は曲率補正を表す。
• $F$ の主要記号は $\sigma_L^F \sim \mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2 + (\mathcal{L}_1)^2 + \cdots$ と表され、$\sum k\alpha_k = k$ を満たす $\mathcal{L}_k$-積から高次項が構成される。
• 付録では、$F$ の記号が計量の偏微分にどのように依存するかを厳密に分析し、平坦でない場合への結果の一般化に不可欠な根拠を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wodzickiトレースを介して、コンパクト多様体上に0次擬微分作用素 $S$ を持つとき、微分形式 $\Omega_{n,S}$ をどのように自然に関連付けることができるか。
• RQ2 偶数次元のコンフォーラル多様体上で、$S$ がFredholmモジュール作用素 $F$ であるとき、微分形式 $\Omega_{n,S}$ は引数 $f$ と $h$ に関して対称であるか。
• RQ3 平坦な場合における $\Omega_n$ の明示的表現は何か。また、$\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$ のテイラー展開とはどのように関係するか。
• RQ4 曲がった多様体への一般化において $\Omega_n(f,h)$ をどのように得られるか。また、$Q_{R,n}(df,dh)$ における曲率補正の役割は何か。
• RQ5 Fredholmモジュール作用素 $F$ の記号は計量の偏微分にどのように依存するか。また、$\mathcal{L}_k$ 型成分の観点からその構造はどのようなものか。

主な発見

• 微分形式 $\Omega_{n,S}$ はWodzickiトレースの恒等式 $\operatorname{Wres}(f_0[S,f][S,h]) = \int_M f_0 \Omega_{n,S}(f,h)$ によって一意に定まり、$C^\infty(M)$ 上のHochschild 2-コサイクルを定義する。
• Fredholmモジュール $(\mathcal{H}, F)$ に対して、形式 $\Omega_n = \Omega_{n,S}$ はすべての偶数次元で $f$ と $h$ に関して対称である。
• 平坦な場合、$\Omega_n$ は $\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$ の対角近傍におけるテイラー展開から得られる多項式の積分として明示的に与えられ、主項は $\operatorname{trace}(\sigma_L^F(\xi)\sigma_L^F(\eta))$ を含む。
• 一般の場合、$\Omega_n(f,h)$ は $Q_n(df,dh) + Q_{R,n}(df,dh)$ に分解され、$Q_n$ は平坦な場合と一致し、$Q_{R,n}$ は曲率補正を符号化する。
• 全記号 $\sigma^F$ は、$\sigma^F = \sigma_0^F + \sigma_{-1}^F + \cdots + \sigma_{-k}^F + \cdots$ の形をとり、$\sigma_{-k}^F \sim \sum (\mathcal{L}_k)^{\alpha_k} \cdots (\mathcal{L}_1)^{\alpha_1}$ と表され、$\sum k\alpha_k = k$ を満たす。
• 記号 $F$ は計量の偏微分に依存し、その依存関係は付録で体系的に分析されており、平坦でない場合への結果の一般化を可能にする。