[論文レビュー] Differential forms on orbifolds with corners

Jake P. Solomon, Sara B. Tukachinsky|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、角付きオルビフォールド上の微分形式および電流の厳密な枠組みを、エタール・プロパー群コアドによって確立し、微分形式の空間とその双対である電流の空間が群コアドの表現に依存しないことを証明している。Fréchet位相と整合する連続的な引き戻しおよび押し出し操作を定義し、古典的な結果を角付きオルビフォールドへ一般化し、関手的性質やストークスの定理といった主要な性質を証明している。

ABSTRACT

Motivated by symplectic geometry, we give a detailed account of differential forms and currents on orbifolds with corners, the pull-back and push-forward operations, and their fundamental properties. We work within the formalism where the category of orbifolds with corners is obtained as a localization of the category of étale proper groupoids with corners. Constructions and proofs are formulated in terms of the structure maps of the groupoids, avoiding the use of orbifold charts. The Fréchet space of differential forms on an orbifold and the dual space of currents are shown to be independent of which étale proper groupoid is chosen to represent the orbifold.

研究の動機と目的

• シンプレクティック幾何学への応用に不可欠である、角付きオルビフォールド上の微分形式および電流の整合的な理論の構築。
• 角付きオルビフォールドを表すエタール・プロパー群コアドの選択に依存しない、微分形式のFréchet空間およびその双対空間（電流）の不変性の証明。
• 角付きオルビフォールド上の微分形式および電流に対する連続的な引き戻しおよび押し出し操作の定義と研究。
• 相対的向き付けやファイバー構造を含む文脈において、古典的な積分およびストークスの定理をオルビフォールドの設定へ一般化すること。
• モジュライ空間が角付きオルビフォールドであるオープン・グロモフ＝ウィトテン理論やフォイカ・カテゴリ構成のための基礎的ツールの提供。

提案手法

• オルビフォールドのチャートに依存せずに、角付きエタール・プロパー群コアドの2-圏の局所化として角付きオルビフォールドを形式化する。
• 微分形式を群コアド上の不変形式として定義し、微分が可換代数構造と整合するFréchet位相を備える。
• 群コアドの構造写像を用いて引き戻しおよび押し出し写像を構成し、Fréchet位相と整合する連続性を保証する。
• コンパクト台付き微分形式上の連続線形汎関数として電流を定義し、双対性を用いて押し出しを定義する。
• 2-同型な射に関して引き戻しが同一であることを証明し、相対的に向き付けられた正則な部分埋め込みに対して押し出しの定義が妥当であることを示す。
• 垂直境界および水平境界の包含写像を用いて境界寄与項を分析することで、電流に対するストークスの定理のバージョンを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オルビフォールドのチャートに依存せずに、角付きオルビフォールド上の微分形式および電流を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 微分形式および電流の空間が、オルビフォールドを表すエタール・プロパー群コアドの選択に依存しない程度はどの程度か？
• RQ3 微分形式および電流に対する引き戻しおよび押し出し操作が適切に定義され、連続であるための条件は何か？
• RQ4 積分の標準的性質、特にストークスの定理が、角付きオルビフォールドの設定へどのように拡張されるか？
• RQ5 相対的向き付けやファイバー構造は、角付きオルビフォールド上の押し出し操作の定義においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 角付きオルビフォールド上の微分形式のFréchet空間は、オルビフォールドを表すエタール・プロパー群コアドの選択に依存しない。
• 微分形式の引き戻しは、角付きオルビフォールド間の射の2-同型に関して不変であり、適切に定義される。
• 相対的に向き付けられた正則な部分埋め込みに対して、微分形式の押し出しは適切に定義され、Fréchet位相を保存する。
• 電流に対してはストークスの定理のバージョンが成り立ち、垂直境界成分に起因する補正項が現れる。
• 標的の境界で消える形式の引き戻しは、一般にその源の境界で消えるとは限らず、相対的形ではなく標準的形を用いる正当性が示される。
• 電流の押し出しは、源の境界および写像による境界の像を含む、修正されたストークス型恒等式を満たす。