[論文レビュー] Differential forms on Wasserstein space and infinite-dimensional Hamiltonian systems

Wilfrid Gangbo, Hwa Kil Kim+1 more|ArXiv.org|Jul 7, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、確率測度の Wasserstein 空間上における微分形式の微分積分学を構築し、グリーンの定理の類似を確立し、1次 de Rham コホロロジー群の消滅を証明する。D=2d の場合、確率測度の空間に厳密なシンプレクティック構造を構成し、最適輸送と微分同相群を用いた無限次元ハミルトニアン系の幾何的定式化を可能にする。

ABSTRACT

Let M denote the space of probability measures on R^D endowed with the Wasserstein metric. A differential calculus for a certain class of absolutely continuous curves in M was introduced by Ambrosio, Gigli and Savare'. In this paper we develop a calculus for the corresponding class of differential forms on M. In particular we prove an analogue of Green's theorem for 1-forms and show that the corresponding first cohomology group, in the sense of de Rham, vanishes. For D=2d we then define a symplectic distribution on M in terms of this calculus, thus obtaining a rigorous framework for the notion of Hamiltonian systems as introduced by Ambrosio and Gangbo. Throughout the paper we emphasize the geometric viewpoint and the role played by certain diffeomorphism groups of R^D.

研究の動機と目的

• 絶対連続曲線の既存の微分積分学と双対的な、確率測度の Wasserstein 空間上の微分形式の厳密な微分積分学を確立すること。
• Wasserstein 空間上での任意の閉1形式が完全であることを証明し、1次 de Rham コホロロジー群が消えることを示すこと。
• D=2d の場合、自然なシンプレクティック分布を Wasserstein 空間上に定義し、ハミルトニアン PDE の幾何的定式化を可能にすること。
• 無限次元ハミルトニアン系の枠組みを最適輸送理論と微分同相群作用と統合すること。
• 従来の文献における形式的または特例的なシンプレクティック構造に対する、技術的に堅牢で幾何的に自然な代替案を提供すること。

提案手法

• R^D 上の有限2次モーメントを持つBorel確率測度の空間 M である Wasserstein 空間上での微分形式の微分積分学を、最適輸送からの計量構造を用いて構築する。
• 曲線 [5] で定義された2-絶対連続曲線と双対的な接ベクトルおよび微分形式の概念を導入し、変分法と最適輸送を活用する。
• 1形式に関するグリーンの定理の類似を証明し、閉1形式の閉曲線に沿った積分が消えることを示す。
• 1次 de Rham コホロロジー群 H^1(M) が消えることを確立し、M 上の任意の閉1形式が完全であることを示す。
• D=2d の場合、Compactly なベクトル場のリー代数を有する微分同相群 Diff_c(R^D) の自然な作用を用いて、M 上にシンプレクティック分布を構成する。
• 形式的に [33] で用いられたポアソン構造と同等であることを示し、シンプレクティック構造が幾何的に自然でハミルトニアンフローと整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wasserstein 空間 M 上で、絶対連続曲線の既存の微分積分学と双対的な、一貫性のある微分形式の微分積分学を構築できるか？
• RQ2 M の1次 de Rham コホロロジー群が消えるか？ これは、任意の閉1形式が完全であることを意味する。
• RQ3 D=2d の場合、最適輸送フレームワークおよび曲線と形式の微分積分学と整合する自然なシンプレクティック構造が M 上に存在するか？
• RQ4 M 上のシンプレクティック形式主義は、[33] で提案された以前のポアソン構造とどのように関係するか？
• RQ5 最適輸送と微分同相群作用の道具を用いて、M 上の無限次元ハミルトニアン系を厳密に定式化できるか？

主な発見

• Wasserstein 空間上での1形式に関して、グリーンの定理の類似が成り立ち、任意の閉曲線に沿った閉1形式の積分が消えることを保証する。
• 1次 de Rham コホロロジー群 H^1(M) が消えることが証明され、M 上の任意の閉1形式が完全であることが示される。
• D=2d の場合、微分同相群 Diff_c(R^D) 及びそのコンパクト台付きベクトル場のリー代数の作用を用いて、M 上に自然なシンプレクティック分布が構成される。
• M 上のシンプレクティック構造は、[33] で用いられたポアソン構造と形式的に同等であることが示され、幾何的自然性が裏付けられる。
• この枠組みは、弱解と最適輸送と整合する、厳密で幾何的に一貫した無限次元ハミルトニアン系の基礎を提供する。
• 測度や関数の滑らかさに関する仮定に依存せず、ハミルトニアン PDE に対して統一的で強固なアプローチを提供する。