[論文レビュー] Differential function spectra, the differential Becker-Gottlieb transfer, and applications to differential algebraic K-theory

Ulrich Bunke, David Gepner|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、数体の整数環に対して微分代数的K理論を構築し、幾何的バンドルからこの理論へのサイクル写像を構成する。微分関数スペクトラと微分 Becker-Gottlieb転送を導入し、特徴的形式とレギュレータに関する主要な結果を証明し、位相的転送と解析的転送を結ぶ転送指数予想を提示する。トーション不変量と正規化比較による支援的証拠が提示される。

ABSTRACT

We develop differential algebraic K-theory for rings of integers in number fields and we construct a cycle map from geometrized bundles of modules over such a ring to the differential algebraic K-theory. We also treat some of the foundational aspects of differential cohomology, including differential function spectra and the differential Becker-Gottlieb transfer. We then state a transfer index conjecture about the equality of the Becker-Gottlieb transfer and the analytic transfer defined by Lott. In support of this conjecture, we derive some non-trivial consequences which are provable by independent means.

研究の動機と目的

• 数体の整数環に対して、微分データを組み込んだ古典的代数的K理論の拡張として、微分代数的K理論を構築すること。
• 幾何的局所定数層および接続を備えたベクトルバンドルから微分代数的K理論へのサイクル写像を構成すること。
• 微分コhomologyの基礎的道具を確立すること、特に微分関数スペクトラと微分 Becker-Gottlieb転送を含む。
• 位相的転送と Lott の解析的転送を等しくする転送指数予想を提示し、その証拠を提供すること。
• 高次トーション不変量の文脈において、Bismut-Lott、Chern、Igusa、Borel などの異なる規格化の特徴的形式を比較・正規化すること。

提案手法

• 一般化コホモロジー理論のホモトピー論的精錬として微分関数スペクトラを構成し、微分形式と接続を組み込む。
• 滑らかなバンドルのファイバー上での積分を用いて、トム同型と転送構造を介して微分 Becker-Gottlieb転送を導入する。
• Borel レギュレータ写像を適用し、K理論類が微分形式と関係することを示し、特に平坦バンドルと曲率データの文脈で有効である。
• Chern-Weil 建設と横断形式を用いて、異なる正規化における特徴的形式を定義・比較する。
• de Rham複体と多様体上の積分を用いて、微分コhomologyにおける2次不変量を定義・計算する。
• SL(n,C) のリー代数における明示的計算を通じて、曲率と特徴的類を結ぶ、正規化された形式（例：ω2j−1）の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数環をもつ数体に対して、幾何的および微分的データを組み込んだ微分代数的K理論をどのように構築できるか？
• RQ2 位相的 Becker-Gottlieb 転送と Lott が定義する解析的転送との正確な関係は何か？
• RQ3 Bismut-Lott、Chern、Igusa、Borel の異なる正規化における特徴的形式は、高次トーション不変量の計算にどのように影響するか？
• RQ4 転送指数予想の結果として、位相的および解析的トーション不変量の等価性にどのような意味があるか？
• RQ5 プロジェクト型から有限生成加群への、幾何的バンドルから微分K理論へのサイクル写像を拡張することは可能か？

主な発見

• 本稿では、接続を備えた幾何的局所定数層から微分代数的K理論へのサイクル写像を構築し、古典的Chern-Weil理論を一般化する。
• 正規化されたBorel レギュレータ写像が、特定の正規化下でChern特徴類の微分形式代表と一致することを証明し、明示的公式： ˆω2j−1 = (−1)^{j-1}(j-1)!/(2j-1)!(2πi)^{j-1} φn(β(n)_{2j-1}) in H^{2j-1}_{gr}(SL(n,C); R) が得られる。
• 微分 Becker-Gottlieb 転送は、トム同型と滑らかさを用いたファイバー上での積分により構成され、繰り返しバンドルに対しても関手的であることが示される。
• 転送指数予想は、S^1-バンドルおよび平坦バンドルを含む重要なケースで、位相的および解析的転送が特徴的形式のレベルで一致することを示すことで支持される。
• 明示的な正規化係数が導出される： N_Borel(2j+1) = (−1)^j (2j+1)! / ((2πi)^j j!)、N_Chern(2j+1) = (−1)^j 2π(2j+1)! / (2^{2j+1} j!)、N_Igusa(2j+1) = (2j+1)! / ((2π)^j 2^{2j}) であり、これにより文献間の比較が可能になる。
• 本稿では d^{KR}_0(*) を明示的に R として計算し、Aut(KR, A, c) のこの群への作用が自明であることを示す。また、行列式構成と計量スケーリングがサイクル写像を保存することを示す。