[論文レビュー] Differential Geometry for the Space of Connections Modulo Gauge Transformations

Jerzy Lewandowski|ArXiv.org|Jun 16, 1994

Mathematics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、射影極限技術を用いて、ゲージ変換による商をとった接続の空間に対する微分幾何学的枠組みを構築し、量子作用素の構成と解析を可能にする。ベクトル場の交換子代数を導入し、発散を定義し、この形式主義内で正則化されたRovelli-Smolinループ作用素とラプラシアン作用素を同定する。これにより、量子重力の量子化のための基盤が提供される。

ABSTRACT

(This short article is a continuation of a longer, review work, in the same volume of Proceedings, by Ashtekar, Marolf and Mourão [gr-qc/9403042]. All the details and other results are to be found in joint papers of the author with Abhay Ashtekar.) The projective limit technics derived for spaces of connections are extended to a new framework which for the associated projective limit plays a role of the differential geometry. It provides us with powerfull technics for construction and studding various operators. In particular, we introduce the commutator algebra of `vector fields', define a divergence of a vector field and find for them a quantum representation. Among the vector fields, there are operators which we identify as regularised Rovelli-Smolin loop operators linear in momenta. Another class of operators which comes out naturally are Laplace operators.

研究の動機と目的

• 射影極限技術をゲージ変換による商をとった接続の空間に拡張し、微分幾何的解析を可能にする。
• 接続の空間上で微分幾何学に類似した枠組みを確立し、作用素の構成を可能にする。
• この枠組み内でベクトル場の交換子代数とその発散を定義する。
• 正則化されたRovelli-Smolinループ作用素とラプラシアン作用素を含む主要作用素の量子表現を同定する。
• 接続変数に基づく量子重力研究のための体系的な数学的ツールセットを提供する。

提案手法

• 射影極限技術を用いて、ゲージ変換による商をとった接続の空間に微分幾何的構造を構築する。
• 接続の空間上のベクトル場の交換子代数を導入し、無限小的対称性を一般化する。
• 射影極限の枠組み内でベクトル場の発散を定義し、幾何的解析を可能にする。
• 代数的構造を通じて、運動量に関して線形な正則化されたRovelli-Smolinループ作用素に対応する作用素を同定する。
• 幾何的枠組みから自然にラプラシアン型作用素を導出し、それらが量子ハミルトニアンにおける役割を果たす可能性を示唆する。
• 形式主義を用いて、正準量子重力における幾何的および力学的作用素の量子表現を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ変換による商をとった接続の空間に対して、どのように微分幾何学的枠組みを構築できるか？
• RQ2 射影極限は、この空間上でのベクトル場およびその代数的構造を定義するために果たす役割は何か？
• RQ3 この幾何的設定において、ベクトル場の発散をどのように定義し、どのように用いることができるか？
• RQ4 この形式主義から自然に生じる量子作用素は何か？ それらはRovelli-Smolinループのような既知の構成とどのように関係するか？
• RQ5 この幾何的構造からラプラシアン型作用素を導出できるか？ それらの量子重力における意義は何か？

主な発見

• 射影極限枠組みは、ゲージ変換による商をとった接続の空間に微分幾何的構造を効果的に支持する。
• ベクトル場の交換子代数が定義され、配置空間上の無限小変換の研究が可能になる。
• ベクトル場の発散が射影極限の設定内で導入され、形式化されている。
• 運動量に関して線形な正則化されたRovelli-Smolinループ作用素が、代数内の特定のベクトル場として同定されている。
• ラプラシアン作用素が幾何的構成から自然に出現し、量子ハミルトニアンダイナミクスにおける関連性を示唆している。
• 形式主義は、正準量子重力における量子作用素の構築と解析の体系的手段を提供している。