[論文レビュー] Differential geometry in the theory of Hessian operators

N. M. Ivochkina, N. V. Filimonenkova|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、多様な表面における不変微分法に中心を置いた新しい微分幾何的枠組みを導入し、超曲面における不変微分、曲率行列、$p$-曲率といった新しい絶対的幾何的不変量を可能にする。この枠組みにより、$p$-曲率を用いて$m$-凸性が確立され、$m$-凸境界条件の下で$m$-ヘシアンDirichlet問題の解に対する事前$C^1$-推定が得られる。

ABSTRACT

The paper introduces a new differential-geometric system which originates from the theory of $m$-Hessian operators. The core of this system is a new notion of invariant differentiation on multidimensional surfaces. This novelty gives rise to the following absolute geometric invariants: invariant derivatives of the surface position vector, an invariant connection on a surface via subsurface, curvature matrices of a hypersurface and its normal sections, $p$-curvatures and $m$-convexity of a hypersurface, etc. Our system also produces a new interpretation of the classic geometric invariants and offers new tools to solve geometric problems. In order to expose an application of renovated geometry we deduce an a priori $C^1$-estimate for solutions to the Dirichlet problem for $m$-Hessian equations.

研究の動機と目的

• パラメータ化に依存しない不変微分法に基づく、新しい微分幾何的系の構築。
• 超曲面$\mathbb{R}^{n+1}$上での不変微分、曲率行列、$p$-曲率といった新しい絶対的幾何的不変量の定義。
• 高次元曲面における$q$-方向および法$q$-断面を用いた、古典的幾何的不変量の再解釈と拡張。
• 新しく導入された幾何的道具を用いて、$m$-ヘシアンDirichlet問題の解に対する事前$C^1$-推定の導出。
• 境界上の幾何的制約を用いて、$m$-適正解が存在し、$C^1$-ノルムで有界であるための条件の確立。

提案手法

• $C^k$-滑らかな曲面$\Gamma^n \subset \mathbb{R}^N$（$k \geq 2$）における不変微分法を導入し、テンソル形式を避けることでパラメータ化に依存しない。
• $q$-方向を1方向の一般化として定義し、滑らかな埋め込み$\Gamma^q \subset \Gamma^n$をその方向の支点として用いる。
• 超曲面$\Gamma^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$に対する曲率行列$\mathcal{K}[\Gamma^n]$を構成し、第一および第二基本形式、主曲率と関連付ける。
• 法$q$-断面曲率行列を、$q$次元の法断面に基づいた、古典的法曲率の一般化として導入。
• 曲率行列の$p$-トレースを用いて$p$-曲率$\mathbf{k}_p[\Gamma^n] = T_p(\mathcal{K}[\Gamma^n})$を定義し、$m$-凸性の概念を導入。
• 理論を$m$-ヘシアン方程式$F_m[u] = f > 0$ in $\Omega$に適用し、$w_\gamma = \gamma W$を用いたバリア関数法により、$\mathbf{k}_{m-1}[\partial\Omega] \geq \varepsilon > 0$の下で$C^1$-推定を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ化に依存しない表面における不変微分法をどのように定義すれば、絶対的幾何的不変量を導けるか？
• RQ2 $\mathbb{R}^{n+1}$における超曲面の曲率行列と$p$-曲率の幾何的意味と構造は何か？
• RQ3 $q$-方向および法$q$-断面の新しい枠組みは、高次元曲面の古典的微分幾何学をどのように拡張するか？
• RQ4 境界$\partial\Omega$にどのような条件を課すれば、$m$-ヘシアン解の$C^1$-有界性が保証されるか？
• RQ5 本稿で導入された幾何的不変量は、$m$-ヘシアン方程式のような完全非線形PDEに対し、事前推定を導出するのに利用可能か？

主な発見

• 本稿は、パラメータ化に依存しない不変微分法に基づく新しい微分幾何的系を確立し、絶対的幾何的不変量を導出する。
• 曲率行列$\mathcal{K}[\Gamma^n]$が導入され、主曲率や第二基本形式といった古典的不変量と関連づけられる。
• $p$-曲率$\mathbf{k}_p[\Gamma^n] = T_p(\mathcal{K}[\Gamma^n})$は、曲率行列の$p$-トレースを用いて定義され、超曲面における$m$-凸性の概念を可能にする。
• 条件$\mathbf{k}_{m-1}[\partial\Omega] \geq \varepsilon > 0$の下で、$m$-適正解に対する事前$C^1$-推定が導出される。
• 推定式$|u_x| \leq c(1/\varepsilon, 1/\nu, \|u\|_{C(\Omega)}, \|f\|_{C^1(\Omega)}, \|\partial\Omega\|_{C^2}, \|\varphi\|_{C^2(\partial\Omega)})$が証明され、$\varepsilon$および$\nu$に依存する構造が明示される。
• 証明は、バリア関数$w_\gamma = \gamma W$の構築に依存し、$u_x$の有界性は$u_\mathbf{n}$の推定を通じて制御され、その推定は調和上界関数と$m$-凸性条件によって保証される。