[論文レビュー] Differential Geometry of Relative Gerbes

Zohreh Shahbazi|ArXiv.org|May 12, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多様体間の滑らかな写像に対して相対的・ベッチを導入し、その微分幾何学的構造を確立するとともに、3次元相対整数コホモロジーを用いて同値類を分類する。また、群値モーメント写像を備えた準ハミルトニアン G-空間の前量子化が、ループ群構成を用いて対応するハミルトニアン LG-空間の前量子化と同値であることを証明し、相対的ベッチと接続を用いてデリーニュコホモロジーを幾何的に実現する。

ABSTRACT

This thesis introduces the notion of "relative gerbes" for smooth maps of manifolds, and discusses their differential geometry. The equivalence classes of relative gerbes are classified by the relative integral cohomology in degree three. Furthermore, by using the concept of relative gerbes, the pre-quantization of Lie group-valued moment maps is developed, and its equivalence with the pre-quantization of infinite-dimensional Hamiltonian loop group spaces is established.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体間の写像に対して相対的ベッチの微分幾何的枠組みを構築すること。
• 相対的ベッチの同値類を3次元相対整数コホモロジーを用いて分類すること。
• 群値モーメント写像を備えた準ハミルトニアン G-空間の前量子化理論を相対的ベッチを用いて確立すること。
• ループ群構成を用いて、有限次元の準ハミルトニアン G-空間の前量子化と無限次元のハミルトニアン LG-空間の前量子化の間の同値性を証明すること。
• SU(n) 上の基本ベッチを含む明示的な相対的ベッチの構成を行い、既知の幾何的・位相的不変量と関連付けること。

提案手法

• 滑らかな写像 Φ: M → N に関して、対象多様体 N 上のベッチに加え、引き戻しベッチに対する擬似ラインバンドルを備えた相対的ベッチを定義する。
• 写像 Φ の3次元相対整数コホモロジー H³(Φ, ℤ) を用いて、相対的ベッチの同値類の群を特徴付ける。
• 相対的接続、相対的曲率、相対的チエーガー＝シモンズ類、相対的ホロノミーを相対的ベッチに対して導入する。
• 閉じた相対的3形式が相対的ベッチに接続を持つとき、その曲率となるための必要十分条件が、その形式が整数的であることであることを証明する。
• 相対的ベッチに接続を持つとき、ループ空間写像 LΦ: LM → LN を介して、相対的ラインバンドルに接続を構成する。
• 相対的ベッチに接続を持つ同値類の群が、2次元相対デリーニュコホモロジーを幾何的に実現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体間の写像上でのベッチをどのように相対的設定に一般化できるか。また、それらを分類するコホモロジー不変量は何か。
• RQ2 相対的ベッチの微分幾何的構造（接続、曲率、ホロノミーなど）は何か。
• RQ3 群値モーメント写像を備えた準ハミルトニアン G-空間の前量子化を相対的ベッチを用いて定式化できるか。
• RQ4 有限次元の準ハミルトニアン G-空間と無限次元のハミルトニアン LG-空間の前量子化の間に、幾何的対応があるか。
• RQ5 SU(n) 上の基本ベッチおよびその倍数の明示的構成は、既知の有限次元モデルとどのように関係するか。

主な発見

• 滑らかな写像 Φ: M → N に対して、相対的ベッチの同値類の群は、3次元相対整数コホモロジー群 H³(Φ, ℤ) に同型である。
• 写像 Φ: M → N 上の閉じた相対的3形式が、相対的ベッチに接続を持つ曲率となるための必要十分条件は、その形式が整数的であることである。これにより、相対的コホモロジーの幾何的実現が確立される。
• 相対的ベッチに接続を持つとき、写像 LΦ: LM → LN を介して、ループ空間上に相対的ラインバンドルに接続が誘導される。
• 相対的ベッチに接続を持つ同値類の群は、2次元相対デリーニュコホモロジーの幾何的モデルを提供する。
• SU(n) 上の基本ベッチの相対的ベッチによる構成は、Gawedzki と Reis による有限次元的構成と同値である。
• 群値モーメント写像を備えた準ハミルトニアン G-空間の前量子化と、対応するハミルトニアン LG-空間の前量子化の間には、1対1の対応がループ群同値定理により存在する。