[論文レビュー] Differential Geometry of Time-Dependent Mechanics

G. Giachetta, L. Mangiarotti+1 more|ArXiv.org|Feb 25, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、$ Y \to \mathbb{R} $ のファイバー束上で接続を用いることにより、時間に依存する力学をゲージ不変かつ参照枠に依存しない形で定式化する。ここで $ Y = \mathbb{R} \times M $ は時間と座標空間を表す。本稿では、参照枠変換の下で位相空間が標準的な接触構造やプレシンプレクティック構造を持たず、ポアソン括弧が退化しており、ハミルトニアンが位相空間上の関数でないことが示され、これは時間に依存する系における一般相対性の原則と標準的なハミルトニアン力学の不適合性を意味する。

ABSTRACT

The usual formulations of time-dependent mechanics start from a given splitting $Y=R imes M$ of the coordinate bundle $Y o R$. From physical viewpoint, this splitting means that a reference frame has been chosen. Obviously, such a splitting is broken under reference frame transformations and time-dependent canonical transformations. Our goal is to formulate time-dependent mechanics in gauge-invariant form, i.e., independently of any reference frame. The main ingredient in this formulation is a connection on the bundle $Y o R$ which describes an arbitrary reference frame. We emphasize the following peculiarities of this approach to time-dependent mechanics. A phase space does not admit any canonical contact or presymplectic structure which would be preserved under reference frame transformations, whereas the canonical Poisson structure is degenerate. A Hamiltonian fails to be a function on a phase space. In particular, it can not participate in a Poisson bracket so that the evolution equation is not reduced to the Poisson bracket. This fact becomes relevant to the quantization procedure. Hamiltonian and Lagrangian formulations of time-dependent mechanics are not equivalent. A degenerate Lagrangian admits a set of associated Hamiltonians, none of which describes the whole mechanical system given by this Lagrangian.

研究の動機と目的

• 時間に依存する力学系における固定された参照枠への依存を排除すること。
• 時間に依存する正準変換および参照枠の変更に対して不変な形で古典力学を再定式化すること。
• 時間に依存する設定において、標準的なハミルトニアンおよびラグランジュ形式が同等でないことに起因する問題を解決すること。
• 時間発展が絶対的でない場合の位相空間の幾何的構造を明確化すること。
• 参照枠に依存するハミルトニアンに起因する量子化における基礎的問題を解消すること。

提案手法

• 時間に依存する力学を、$ Y \to \mathbb{R} $ のファイバー束上に定式化し、$ Y = \mathbb{R} \times M $ とし、$ M $ を座標多様体とする。
• $ Y \to \mathbb{R} $ 上の接続を用いて、固定された分割 $ \mathbb{R} \times M $ を置き換える任意の参照枠を幾何学的に記述する。
• ジャンプ束と接続を用いて、時間に依存するラグランジュ的およびハミルトニアン的力学の幾何的枠組みを構築する。
• 位相空間上の標準的ポアソン構造が退化しており、参照枠変換の下で保存されないことを示す。
• ハミルトニアンが位相空間上の関数ではなく、接続の選択に依存することを示し、これにより標準的ポアソン括弧による時間発展が無効になる。
• 退化したラグランジアンは複数のハミルトニアンを許容するが、いずれも系の完全な力学を記述できないため、ラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化の双対性が破れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された分割 $ \mathbb{R} \times M $ に依存しない形で、時間に依存する力学をどのように定式化できるか。すなわち、参照枠を特権化しない形で。
• RQ2 一般共変性が要求される状況下で、時間に依存する力学における位相空間の背後にある幾何的構造は何か。
• RQ3 なぜ標準的ポアソン括弧構造が時間に依存する正準変換に対して不変でないのか。
• RQ4 この枠組みにおいて、ハミルトニアンがなぜ位相空間上の適切に定義された関数でないのか。
• RQ5 なぜ時間に依存する系ではラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化が同等ではなくなるのか。そして、量子化に与える影響は何か。

主な発見

• $ Y \to \mathbb{R} $ 上の接続は、固定された分割 $ \mathbb{R} \times M $ を置き換えるゲージ不変な参照枠の記述を提供する。
• 時間に依存する力学の位相空間は、参照枠の変更を考慮する際にも保存される標準的な接触構造やプレシンプレクティック構造を持たない。
• 位相空間上の標準的ポアソン構造は退化しており、したがってシンプレクティック形式に逆写像できない。
• この枠組みにおけるハミルトニアンは位相空間上の関数ではなく、ラインバンドルのセクションであるため、標準的ポアソン括弧による時間発展と不適合である。
• 退化したラグランジアンを伴うラグランジュ力学は、ハミルトニアンの族を生じるが、そのいずれもが完全な力学を記述できないため、ラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化の通常の双対性が破れる。
• ハミルトニアン関数が位相空間上で適切に定義されないことは、時間に依存する系の量子化に直接的な影響を及ぼす。