[論文レビュー] Differential Geometry on Compound Poisson Space

Yuri Kondratiev, José Luís da Silva+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 1999

Advanced Topics in Algebra参考文献 26被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、リーマン多様体 X 上の複合ポアソン空間における微分幾何学を、リーマン構造を無限次元の構成空間へと上げることで開発する。内在的な微分作用素（勾配、発散、ラプラス＝ベルトラミ作用素）を構成し、ディリクレ型形式とそれに関連する拡散過程の定義を可能にする。Lie代数表現への応用およびマーク付きポアソン測度への一般化も含む。

ABSTRACT

In this paper we carry out analysis and geometry for a class of infinite dimensional manifolds, namely, compound configuration spaces as a natural generalization of the work \cite{AKR97}. More precisely a differential geometry is constructed on the compound configuration space $Ω_{X}$ over a Riemannian manifold $X$. This geometry is obtained as a natural lifting of the Riemannian structure on $X$. In particular, the intrinsic gradient, divergence, and Laplace-Beltrami operator are constructed. Therefore the corresponding Dirichlet forms on $L^{2}(Ω_{X})$ can be defined. Each is shown to be associated with a diffusion process on $Ω_{X}$ (so called equilibrium process) which is nothing but the diffusion process on the simple configuration space $Γ_{X}$ together with corresponding marks. As another consequence of our results we obtain a representation of the Lie-algebra of compactly supported vector fields on $X$ on compound Poisson space. Finally generalizations to the case when the compound Poisson measure is replaced by a marked Poisson measure easily follow from this construction.

研究の動機と目的

• 有限次元のリーマン多様体からの微分幾何学を、無限次元の複合構成空間へと拡張すること。
• 『ポアソン空間上の微分幾何学』の枠組みを、マーク付きの複合ポアソン測度へ一般化すること。
• 複合構成空間 $\Omega_X$ 上で内在的な幾何的作用素（勾配、発散、ラプラシアン）を定義すること。
• 構築された幾何学と確率過程、特に平衡拡散過程との関係を確立すること。
• コンパクトに台を持つベクトル場のリー代数を、複合ポアソン空間上に表現すること。

提案手法

• X 上のリーマン計量を、複合構成空間 $\Omega_X$ 上の自然なリーマン構造へと上げること。
• 上昇された計量と複合ポアソン測度を用いて、$L^2(\Omega_X)$ 上での内在的勾配を定義すること。
• 勾配の随伴作用素として発散作用素を $L^2(\Omega_X)$ 内で構成し、保存則を保証すること。
• 発散と勾配の合成としてラプラス＝ベルトラミ作用素を導出し、対称な拡散生成子を形成すること。
• 複合ポアソン測度に関する勾配のノルムの二乗の積分を用いて、$L^2(\Omega_X)$ 上にディリクレ型形式を定義すること。
• ディリクレ型形式に関連する $\Omega_X$ 上の拡散過程の存在を確立し、それが平衡過程として特定されること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配、発散、ラプラシアンといった微分幾何的構造を、リーマン多様体上の複合ポアソン空間へ自然に拡張する方法は何か？
• RQ2 X 上のリーマン構造と $\Omega_X$ 上に誘導される幾何学との関係は何か？
• RQ3 ラプラス＝ベルトラミ作用素に関連するディリクレ型形式は、$\Omega_X$ 上の確率過程とどのように関連するか？
• RQ4 X 上のコンパクトに台を持つベクトル場のリー代数は、複合ポアソン空間上でどのように作用するか？
• RQ5 この構成は、マーク付きポアソン測度へどの程度一般化可能か？

主な発見

• リーマン多様体 X からの構造の上昇を用いて、$L^2(\Omega_X)$ 上に内在的勾配、発散、ラプラス＝ベルトラミ作用素が明示的に構成された。
• ラプラス＝ベルトラミ作用素に関連するディリクレ型形式は、$\Omega_X$ 上の拡散過程のエネルギー形式として特定され、それを平衡過程と呼ぶ。
• $\Omega_X$ 上の平衡過程は、独立なマークを持つ単純な構成空間 $\Gamma_X$ 上の拡散に分解可能であることが示された。
• コンパクトに台を持つベクトル場のリー代数の表現が、複合ポアソン空間 $\Omega_X$ 上に実現された。
• この枠組みはマーク付きポアソン測度へ自然に一般化可能であり、同じ幾何的および確率的構造が保たれる。
• この構成により、下位の確率測度と整合する一貫性と自然性を持つ $\Omega_X$ 上の微分幾何的計算体系が得られた。