[論文レビュー] Differential Graded Schemes II: The 2-category of Differential Graded Schemes

Kai Behrend|ArXiv.org|Dec 17, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、完全な解消代数をアフィンモデルとして用いることで、微分的可換代数（dg）スキームの2カテゴリを導入し、エタール位相による貼り合わせと、導来テンソル積による纤维積を可能にする。主な貢献は、 quasi-isomorphic な dg 代数が 2-isomorphic な dg スキームをもたらし、dg スキームは局所座標環から quasi-isomorphism に関して復元可能であることである。これにより、降下理論と障害理論を備えた整合的な幾何的枠組みを確立する。

ABSTRACT

We construct a 2-category of differential graded schemes. The local affine models in this theory are differential graded algebras, which are graded commutative with unit over a field of characteristic zero, are concentrated in non-positive degrees and have perfect cotangent complex. Quasi-isomorphic differential graded algebras give rise to 2-isomorphic differential graded schemes and a differential graded algebra can be recovered up to quasi-isomorphism from the differential graded scheme it defines. Differential graded schemes can be glued with respect to an etale topology and fibered products of differential graded schemes correspond on the algebra level to derived tensor products.

研究の動機と目的

• エタール位相による貼り合わせ、導来テンソル積による纤维積、アフィンデータからの局所的再構成といった自然な幾何的公理を満たす dg スキームの幾何的カテゴリを定義すること。
• dg 代数が単体的圏をなすにもかかわらず、2カテゴリで十分であることを示すことにより、dg 幾何における高階圏的構造の必要性を解消すること。
• dg 環および準同型の降下理論を確立し、エタール位相および導来代数幾何と整合するようにすること。
• 関連代数的空間、ホモトピー層、相対次元といった不変量を定義し、それらを古典的代数幾何と関連付けること。
• dg スキームの準同型に対して相対障害理論を構成し、枚証幾何における仮想基本類と結びつけること。

提案手法

• 標数0の体上の、非正の次数にのみ非ゼロをもつ、完全な余接複体を持つ、可換な微分的可換 dg 代数の2カテゴリを構成する。
• dg スキームの2カテゴリを、完全な解消代数の2カテゴリの反対圏上の、グループイドに倣った2カテゴリとして定義し、エタール位相を備える。
• dg 代数間の単体的ホモトピー空間の基本群族を用いて1-準同型および2-同型を定義し、quasi-isomorphism が2-同型に移ることを保証する。
• ハイパーキューブ切断と厳密化を用いて、古典的降下を2圏的設定に一般化し、準同型および代数の降下を実装する。
• dg スキームの切断を代数的空間として定義し、ベースチェンジを用いて dg 不変量（微分形式、接層など）と古典的類似物との関係を確立する。
• dg 相対微分形式から、その切断の古典的余接複体への自然な準同型を構成し、Behrend-Fantechi の意味での相対障害理論を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dg 代数が単体的圏をなすにもかかわらず、2圏的構造のみを用いて整合的な dg スキーム理論を構築可能か？
• RQ2 dg スキームの2カテゴリは、エタール位相による貼り合わせと、導来テンソル積による纤维積をサポートするか？
• RQ3 dg スキームは、局所アフィン座標環から quasi-isomorphism に関して再構成可能か？
• RQ4 古典的不変量（余接複体、仮想基本類）と dg 構造との関係はいかなるものか？
• RQ5 dg スキームの準同型に対して、仮想基本類を回復する自然な障害理論が存在するか？

主な発見

• quasi-isomorphic な完全な解消代数は 2-isomorphic な dg スキームをもたらし、dg スキームは局所アフィン座標環を quasi-isomorphism に関して一意に決定する。
• dg スキームの纤维積は存在し、dg 代数のレベルでは導来テンソル積によって計算可能である。
• dg スキームの切断は代数的空間であり、dg スキームの閉点のザリスキ位相空間とその切断のそれとの間にホメオモーティズムが存在する。
• dg スキームの準同型がエタールであることと、その相対微分形式が完全であることとは同値であり、エタール準同型は切断に同型を誘導する。
• dg スキームの準同型の相対微分形式は、その切断の古典的余接複体へ自然に写像され、これは仮想基本類を定義する完全な障害理論をもたらす。
• アーベル的幅1の準同型に対して、仮想基本類は関手的である：準同型の合成は、それらの仮想クラスの積を誘導する。