[論文レビュー] Differential graded versus Simplicial categories

Gonçalo Tabuada|ArXiv.org|Nov 24, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の次数付きチェイン複体に値をとる圏に enrich された圏と単体的 $k$-加群に enrich された圏の間の Quillen 同値性として、Dold-Kan 対応を一般化することにより、微分付き可換圏（dg 圏）と単体的圏のホモトピー理論の間で zig-zag な Quillen 隣接関係を確立する。主な貢献は、Simpson のホモトピー纤维構成の概念的説明を、dg と単体的ホモトピー理論の間のこの橋渡しを通じて行う点である。

ABSTRACT

We construct a zig-zag of Quillen adjunctions between the homotopy theories of differential graded and simplicial categories. In an intermediate step we generalize Shipley-Schwede's work on connective DG algebras by extending the Dold-Kan correspondence to a Quillen equivalence between categories enriched over positive graded chain complexes and simplicial k-modules. As an application we obtain a conceptual explanation of Simpson's homotopy fiber construction.

研究の動機と目的

• 微分付き可換圏と単体的圏のホモトピー理論を Quillen 隣接関係で結ぶ橋渡しを構築すること。
• Shipley-Schwede の連結的 DG 代数に関する研究を、正の次数付きチェイン複体に enrich された圏へ一般化すること。
• 正の次数付き dg 圏と単体的 $k$-加群に enrich された圏の間で、Dold-Kan 対応を Quillen 同値性へ拡張すること。
• 非アーベル Hodge 理論における Simpson のホモトピー纤维構成の概念的説明を提供すること。
• dg 圏と単体的圏のホモトピー理論を結ぶ zig-zag な Quillen 隣接関係を確立すること。

提案手法

• 文献[23]からのモデル構造を切断することで、正の次数付き dg 圏の圏に Quillen モデル構造を構成する。
• 正の次数付きチェイン複体に enrich された圏と単体的 $k$-加群に enrich された圏の間で、Dold-Kan 対応を Quillen 同値性へ一般化する。
• 単体的圏から単体的 $k$-加群に enrich された圏への $k$-線形化関手を定義し、それが Quillen 隣接関係をなすことを示す。
• Dold-Kan 対応を用いて、正の次数付き dg 圏のホモトピー理論と単体的 $k$-加群に enrich された圏のホモトピー理論を関連付ける。
• zig-zag な Quillen 隣接関係を構成する：$s\mathbf{Set}$-Cat $\xrightleftarrows[k(-)]{U}$ $s\mathbf{Mod}$-Cat $\xrightleftarrows[N]{L}$ $\mathsf{dgcat}_{\geq 0}$ $\xrightleftarrows[\tau_{\geq 0}]{L}$ $\mathsf{dgcat}$。
• これらの Quillen 隣接関係を活用して、ホモトピー極限と余極限を関連付け、とくに合成された随伴関手の導来関手の性質を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分付き可換圏と単体的圏のホモトピー理論は、どのように Quillen 隣接関係によって結びつけられるか？
• RQ2 正の次数付きチェイン複体に enrich された圏と単体的 $k$-加群に enrich された圏の間で、Dold-Kan 対応を Quillen 同値性へ拡張できるか？
• RQ3 $k$-線形化関手は、単体的圏と dg 圏を結ぶ上で果たす概念的役割は何か？
• RQ4 随伴関係の合成の導来関手は、Simpson のホモトピー纤维構成とどのように関係するか？
• RQ5 dg 関手のホモトピー纤维は、その合成された導来関手による像のホモトピー纤维として理解できるか？

主な発見

• 文献[23]からのモデル構造を切断することで、正の次数付き dg 圏の圏に Quillen モデル構造が構成された。
• 正の次数付きチェイン複体に enrich された圏と単体的 $k$-加群に enrich された圏の間で、Dold-Kan 対応が Quillen 同値性へ一般化された。
• $k$-線形化関手 $k(-)$ とその右随伴 $U$ は、単体的 $k$-加群に enrich された圏と単体的圏の間で Quillen 隣接関係をなす。
• zig-zag な Quillen 隣接関係により、dg 圏と単体的圏のホモトピー理論の間の導来同値性が確立された。
• 導来関手 $\mathbb{R}(U \circ L \circ \tau_{\geq 0})$ はホモトピー極限を保存し、dg 関手のホモトピー纤维は、この合成の下での像のホモトピー纤维と同値である。
• この構成により、非アーベルミックスド Hodge 理論における Simpson のホモトピー纤维構成の概念的説明が得られた。