[論文レビュー] Differential Inclusions in Wasserstein Spaces: The Cauchy-Lipschitz Framework

Benoît Bonnet, Hélène Frankowska|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 68被引用数 41

ひとこと要約

本論文は Wasserstein 空間における微分包含の機能的枠組みを構築し、速度場の可測選択を介して解を定義し、Mean-field 制御問題を研究するための Filippov, Relaxation, および圧縮性に関する結果を証明する。

ABSTRACT

In this article, we propose a general framework for the study of differential inclusions in the Wasserstein space of probability measures. Based on earlier geometric insights on the structure of continuity equations, we define solutions of differential inclusions as absolutely continuous curves whose driving velocity fields are measurable selections of multifunction taking their values in the space of vector fields. In this general setting, we prove three of the founding results of the theory of differential inclusions: Filippov's theorem, the Relaxation theorem, and the compactness of the solution sets. These contributions -- which are based on novel estimates on solutions of continuity equations -- are then applied to derive a new existence result for fully non-linear mean-field optimal control problems with closed-loop controls.

研究の動機と目的

• Wasserstein 空間における大規模ダイナミクス系および Mean-field 限界の研究を動機づける。
• Wasserstein 空間における速度場の可測選択を介して微分包含を定義する。
• Filippov の定理、Relaxation 定理、および解集合の圧縮性に相当する基礎結果を確立する。
• 閉ループ制御を伴う完全非線形の Mean-field 最適制御の存在をこの枠組みから導く。

提案手法

• [0,T] 上の集合値速度場 V を導入し、微分包含を ∂tμ(t) ∈ −div(V(t,μ(t))μ(t)) と定義する。
• 速度を Wasserstein 接触空間への非局所速度の射影として解釈する。
• (P_c(ℝ^d), Wp) における Filippov 定理、Relaxation 定理、および軌道集合の圧縮性の一般化を証明する。
• 連続方程式の解に対する事前評価値を導出し、安定性結果を支援する。
• 可測選択定理を用いて V の選択と特徴を駆動する実際の制御関数 u(t) との関係を構築する。
• 結果を適用して制約付き mean-field 最適制御問題の存在を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 水準の集合値速度場を用いて Wasserstein 空間における微分包含をどのように定式化するか？
• RQ2 Wasserstein 空間における Cauchy-Lipschitz 微分包含へ Filippov の定理を拡張できるか？
• RQ3 Wasserstein 空間の微分包含に Relaxation 定理は成り立つか、閉包はどうなるか？
• RQ4 右辺が凸の場合、これらの包含の解集合はコンパクトになるか？
• RQ5 閉ループ制御を備えた完全非線形の Mean-field 最適制御の存在を、これらの理論的結果から導けるか？

主な発見

• Wasserstein 空間における微分包含の解の堅牢な概念を、局所リプシッツ性を持つ速度場の可測選択を介して確立した。
• Filippov 型の結果を (P_c(ℝ^d), Wp) に拡張し、軌道選択に対するグロンワルル不等式を得た。
• 右辺を凸に変換した場合の解集合の閉包を記述する Relaxation 定理を証明した。
• 右辺が凸の場合に解集合の圧縮性を示し、制約付き Mean-field 制御の存在を可能にした。
• 連続方程式に対する新しい運動量およびグロンワルツ型の推定が、安定性と収束解析を支える。