[論文レビュー] Differential Invariants and Application to Riccati-Type Systems

Roman O. Popovych, V. Boyko|ArXiv.org|Dec 24, 2001

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、任意の数の独立変数および従属変数を持つ系に作用する1パラメータ群に対して、リーの古典的微分不変量理論を一般化する。万能不変量が与えられた場合、1回の積分と繰り返し微分を用いて、関数的に独立な微分不変量の完全集合を構成できることを証明し、この枠組みを用いてリッカティ型系を明示的に統合する。

ABSTRACT

We generalize the classical Lie results on a basis of differential invariants for a one-parameter group of local transformations to the case of arbitrary number of independent and dependent variables. It is proved that if universal invariant of a one-parameter group is known then a complete set of functionally independent differential invariants can be constructed via one quadrature and differentiations. Some applications of first-order differential invariants to Riccati-type systems are also presented.

研究の動機と目的

• 1パラメータ群が任意の数の独立変数および従属変数を持つ系に作用する場合の、リーの古典的微分不変量理論の拡張。
• 万能不変量が与えられた場合、1回の積分と微分のみを用いて、関数的に独立な微分不変量の完全集合を構成するための構成的手法の確立。
• 微分不変量とリッカティ型系の可積分性との関係の解明。
• 不変量枠組みを用いて、特定のクラスのリッカティ型系に対して明示的な統合公式を提供。

提案手法

• 1パラメータ群が $ n $ 個の独立変数および $ m $ 個の従属変数に作用する場合の、$ m+n-1 $ 階の万能不変量 $ I $ を導入する。
• $ I $ と $ QJ = 1 $ の解 $ J $ を用いて座標変換を構成し、ベクトル場を $ rac{\tau}{\tau y_n} $ に変換することで、拡張群作用の構造を単純化する。
• 新しい変数における基本的な微分不変量の集合 $ (\tilde{y}, v_{(r)}) $ を導出する。ここで $ \tilde{y} $ は基本空間の不変量、$ v_{(r)} $ は新しい変数におけるジェット座標である。
• 得られた不変量構造を用いて、1回の積分を含む有理関数変換を介して、リッカティ型系の一般解の公式を導出する。
• $ n=1 $, $ m=2 $ の具体例にこの手法を適用し、決定方程式 $ QJ = 1 $ の明示的解を用いて、関連するリッカティ系の一般解を構成する。
• 新しい座標における不変量微分作用素を用いて、一般解を不変量およびその微分の有理関数として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーの古典的結果（微分不変量の有限基底）は、任意の数の独立変数および従属変数を持つ系に作用する1パラメータ群へ一般化可能か？
• RQ2 万能不変量が与えられた場合、1回の積分と微分のみを用いて、関数的に独立な微分不変量の完全集合を構成可能か？
• RQ3 微分不変量の理論は、リッカティ型方程式系の統合にどのように応用可能か？
• RQ4 1パラメータ群作用から導かれるリッカティ型系の一般解の構造はいかなるものか？
• RQ5 リッカティ型系の一般解が、不変量および積分を用いた有理関数表現として表現可能となる条件は何か？

主な発見

• 1パラメータ群が $ n $ 個の独立変数および $ m $ 個の従属変数に作用する場合、万能不変量が与えられたとき、1回の積分と繰り返し微分のみを用いて、関数的に独立な微分不変量の完全集合を構成可能である。
• 新しい座標 $ (y, v) $ における拡張群作用は $ \frac{\tau}{\tau y_n} $ に簡略化され、$ \tilde{y} $ および $ v_{(r)} $ からの不変量の体系的構成が可能になる。
• 群作用から導かれるリッカティ型系に対して、一般解は不変量と1回の積分 $ J $ を含む有理式として明示的に与えられる。式 (8) および例題で示されている。
• 例題1では、リッカティ方程式 $ \frac{du_x}{dx} = -\frac{1}{Cx^k}u_x^2 + \frac{2(k-1)}{x}u_x + kCx^{k-2} $ の解は、$ k \neq -1 $ の場合 $ u_x = Cx^{k-1}\big(k - \frac{k+1}{1 + \tilde{C}x^{k+1}}\big) $ であり、$ k = -1 $ の場合 $ u_x = -\frac{C}{x^2}\big(1 + \frac{1}{\tilde{C} - \bar{\nu}}\big) $ である。
• 例題4では、2成分リッカティ系の解は $ \begin{pmatrix} u_x^1 \\ u_x^2 \\ ight) = \text{exp}(x)\begin{pmatrix} C^1 \\ C^2 \\ ight) + \frac{(C^1 + C^2)\text{exp}(2x)J}{1 - (\tilde{C}^1 + \tilde{C}^2)(\text{exp}(x) - (C^1 + C^2)^{-1})J}\begin{pmatrix} \tilde{C}^1 \\ \tilde{C}^2 \\ ight) $ で与えられ、ここで $ J $ は積分である。
• 例題5では、解は $ \begin{pmatrix} u_x^1 \\ u_x^2 \\ ight) = \begin{pmatrix} -C^1\text{sin}x + C^2\text{cos}x \\ -C^1\text{cos}x - C^2\text{sin}x \\ ight) + \frac{\text{exp}(- (C^1 + C^2)\text{cos}x - (C^2 - C^1)\text{sin}x)}{1 - \tilde{C}^1 J_{C^1} - \tilde{C}^2 J_{C^2}} \begin{pmatrix} \tilde{C}^1\text{cos}x + \tilde{C}^2\text{sin}x \\ -\tilde{C}^1\text{sin}x + \tilde{C}^2\text{cos}x \\ ight) $ と表され、$ J $ は積分により計算される。