[論文レビュー] Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences

David M. J. Calderbank, Tammo Diemer|ArXiv.org|Jan 27, 2000

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、カルタン接続とリー代数ホモロジーを用いて、放物型幾何における曲がったベルンシュタイン＝ゲルファンド＝ゲルファンド（BGG）系列の簡略化された構成を提示する。曲率項を補正として含む、ライブニッツ則を満たす双線形微分カップ積を導入する。このカップ積は、多重線形微分作用素の $A_{\infty}$-代数の一部であり、共形幾何におけるヘリシティを上げ下げする作用の一般化である。

ABSTRACT

We give a simple construction of the Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences of natural differential operators on a manifold equipped with a parabolic geometry. This method permits us to define the additional structure of a bilinear differential cup product on this sequence, satisfying a Leibniz rule up to curvature terms. It is not associative, but is part of an A-infinity algebra of multilinear differential operators, which we also obtain explicitly. We illustrate the construction in the case of conformal differential geometry, where the cup product provides a wide-reaching generalization of helicity raising and lowering for conformally invariant field equations.

研究の動機と目的

• 平坦で同次的な場合を越えた不変微分作用素の一般化を伴う、放物型幾何における曲がったBGG系列の構成を簡略化すること。
• BGG系列上で、曲率項を補正として含むライブニッツ則を満たす双線形微分カップ積を定義すること。
• カップ積構造が、多重線形微分作用素の $A_{\infty}$-代数の一部をなしていることを示すこと。
• 双対ヴェルマモジュール形式に依存しない、カルタン幾何とリー代数ホモロジーを用いた幾何的で自己完結的な枠組みを提供すること。

提案手法

• 放物型幾何を曲率を持つ $G/P$-構造としてモデル化するため、カルタン幾何とカルタン接続の理論を用いる。
• de Rham複体に類似した $d$ と $\delta$ 演算子を用いたリー代数ホモロジーを適用し、BGG系列を構成する。
• 捩れた微分形式上の微分作用素を構成し、ホモロジー写像を誘導することで、カップ積の定義を可能にする。
• ネウマン級数の構成を用いて、BGG作用素とその曲率補正を明示的に実現する。
• 半完全なジャンプ構成の双対化を用いてカップ積と $A_{\infty}$-代数構造を定義する。
• $\Pi$-演算子と無限次ジャンプバンドルを用いて、同じタイプの幾何において一様に強い不変性と均一な記号構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なヴェルマモジュール双対性を超えて、曲がったBGG系列をより簡潔で幾何的に自然な方法で構成するにはどうすればよいか？
• RQ2 BGG系列上に、コhomologyにおけるカップ積を一般化するような、双線形微分ペアリング構造は存在するか？
• RQ3 このような微分カップ積において、曲率項はライブニッツ則にどのように影響を与えるか？
• RQ4 カップ積構造を、多重線形微分作用素の完全な $A_{\infty}$-代数に拡張できるか？
• RQ5 この構成は、共形場方程式におけるヘリシティの上げ下げをどのように一般化するか？

主な発見

• BGG系列は、捩れたde Rham複体上でネウマン級数法を用いて構成され、明示的かつ自己完結的な幾何的構成が得られた。
• 曲率項を補正として含む、ライブニッツ則を満たす双線形微分カップ積がBGG系列上で定義され、コhomology的カップ積の一般化である。
• カップ積は結合的ではないが、明確に定義された多重線形微分作用素の $A_{\infty}$-代数の一部である。
• BGG作用素の二乗における曲率項が、ネウマン級数法を用いて明示的に計算された。
• この構成は強く不変であり、同じタイプのすべての放物型幾何に一様に適用可能で、記号は半完全なヴェルマモジュール準同型によって決定される。
• 共形の場合には、カップ積が共形不変場方程式におけるヘリシティの上げ下げを一般化する。