[論文レビュー] Differential operators of Fuchs type, conical singularities, and asymptotic methods

Matthias Lesch|ArXiv.org|Jul 19, 1996

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 51被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、錐特異点をもつ多様体上のFuchs型微分作用素の理論を構築し、熱核の漸近展開、インデックス定理、η不変量の変動公式を確立する。また、削減されたη不変量が境界条件パラメータに依存しないことを証明し、カットアンドキャップ操作におけるη不変量のグルーピング公式を導く。これらの結果は、分岐多様体上のディラク作用素およびスペクトル不変量に応用可能である。

ABSTRACT

This text is a revised version of the authors Habilitationsschrift which was submitted to the University of Augsburg, 1993. Fuchs type differential operators are used to model the analysis on manifolds with cone--like singularities, or more general, stratified spaces. This book provides a self--contained treatment of the analysis of the heat equation and index theory for these operators. Major topics are short--time asymptotics, $η$-- and $ζ$--functions, (relative) index theorems. Another chapter is devoted to the discussion of deficiency indices and Dirac Schrödinger operators.

研究の動機と目的

• 滑らかでない設定への古典的楕円理論の拡張を含む、錐特異点をもつ多様体上のFuchs型微分作用素の包括的理論を構築すること。
• このような作用素に対する熱核およびスペクトルゼータ関数・η関数の漸近展開を確立すること。
• Fuchs型作用素のインデックス定理を導出し、それとAtiyah–Patodi–Singerのインデックス公式との関係を明らかにすること。
• η不変量が自己共役拡張および境界条件にどのように依存するかを、特にグルーピングの文脈で調査すること。
• 漸近的およびスペクトル的手法を用いて、特異空間上のディラク作用素およびシュレーディンガー型作用素の解析の厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• Mellin変換および重み付きSobolev空間を用いて、錐特異点をもつ微分作用素を分析する。
• スケーリングおよびモデル錐解析を用いてFuchs型作用素のパラメトリクスを構成し、特異楕円的推定式を導出可能にする。
• モデル錐上での特異漸近的補題およびスケーリング性質を適用し、熱核の漸近的性質を導出する。
• 相対的McKean–Singer公式を導入し、Chernoff作用素を用いて波動伝搬および核推定を分析する。
• G-不変およびCl_k線形作用素の欠損指数理論を適用し、モデル錐上での自己共役拡張の分類を実施する。
• モノドロミー作用素の対数行列式を用いてη不変量の変動公式を導出し、境界条件の間の補間を用いてグルーピング不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fuchs型微分作用素は、錐特異点をもつ多様体上でどのように振る舞い、それに対してどのようなスペクトル不変量を定義できるか？
• RQ2 このような作用素の熱核の漸近的構造は何か？ また、インデックスおよびη不変量とどのように関係するか？
• RQ3 η不変量は、特に錐特異点を伴う状況下で、自己共役拡張の選択にどのように依存するか？
• RQ4 超曲面に錐特異点をもつ多様体をカットする場合、η不変量のグルーピング公式を確立できるか？
• RQ5 特異空間上のディラク作用素のη不変量と、古典的なAtiyah–Patodi–Singerインデックス公式との関係は何か？

主な発見

• 連続的伝達条件とAtiyah–Patodi–Singer条件の間の補間族における境界条件パラメータθに依存しない、Fuchs型作用素の削減されたη不変量が成立する。
• 2つの自己共役拡張σ₁とσ₂間のη不変量の変動は、ker(Γ−i)に制限されたモノドロミー作用素σ₁σ₂の対数行列式によって与えられ、ℤを法とする。
• 1次または2次Fuchs型作用素のη関数は、ℂに単純極をもち、k∈ℤ₊に対しm−kに位置する。0は正則点である。
• Atiyah–Patodi–Singer境界条件をもつディラク作用素に対して、Fuchs型作用素のインデックス公式は、小さな固有値がない場合、古典的APSインデックス公式と一致する。
• 削減されたη不変量のθに依存しない性質から、η不変量のグルーピング公式が導かれる。これは、DaiとFreedの結果を新たなスペクトル的アプローチで再確認する。
• モデル錐上でのG-不変対称作用素の欠損指数は、断面にあたる作用素のスペクトル的性質によって決定され、自己共役拡張の分類が可能になる。