[論文レビュー] Differential Reduction Algorithms for Hypergeometric Functions Applied to Feynman Diagram Calculation

V. V. Bytev, M.Yu. Kalmykov+3 more|ArXiv.org|Feb 9, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 7被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、量子場の理論におけるフェ Feynman 図の計算に用いる一般化超幾何関数 ${}_{p+1}F_p$ の微分還元アルゴリズムを提示する。上昇・下降作用素を用いて超幾何関数のパラメータをシフトすることで、複雑な関数を基底関数とその微分に還元し、$\varepsilon$-展開とハイパーログリズムを用いて $z=1$ の特異点でも効率的な計算が可能になる。主な貢献は、特に等質量条件下での多ループ図を扱う体系的な枠組みを提供することであり、反復積分と解析接続を用いる。

ABSTRACT

We describe the application of differential reduction algorithms for Feynman Diagram calculation. We illustrate the procedure in the context of generalized hypergeometric functions, and give an example for a type of q-loop bubble diagram.

研究の動機と目的

• フェ Feynman 図の計算に生じる一般化超幾何関数 ${}_{p+1}F_p$ を体系的に還元する手法の開発。
• 標準的な還元手法が失敗する $z=1$ のような特異点での関数値の評価という課題への対処。
• 解析接続技術を用いて、特に単一スケール極限（$m^2 = M^2$）における多ループバブル図の計算を可能にする。
• 結果を $0 \leq z \leq 1$ の全域にわたって有効なハイパーログリズムと $\varepsilon$-展開の形で表現する枠組みの提供。

提案手法

• 上部および下部の超幾何関数パラメータに対して上昇・下降作用素 $U_{a_i}^\pm$ および $L_{b_j}^\pm$ を用いてシフトを行う。
• 任意のシフトされた超幾何関数 ${}_{p+1}F_p(\vec{a}+\vec{m}; \vec{b}+\vec{n}; z)$ を、元の関数の微分（最大 $p$ 階まで）の線形結合として表現し、その係数は $z$ とパラメータの有理関数である。
• 還元は微分方程式 $L(\vec{a},\vec{b})\left({}_{p+1}F_p\right) = 0$ を用いて実装され、ここで $\theta = z\frac{d}{dz}$ であり、高階の $\theta^k$ 項は再帰的に還元可能である。
• 特異点 $z=1$ に対しては、ハイパーログリズムを用いた超幾何関数の $\varepsilon$-展開が用いられ、ハイパーログリズムは有理関数の反復積分として定義される。
• 特定のパラメータ集合に対するすべての次数の $\varepsilon$-展開定理を活用し、結果を $\varepsilon$ の級数として表現し、その係数には多重多対数関数が含まれる。
• 変換 $z \to 1-z$ は代数的に処理され、ハイパーログリズムの構造が保たれ、$z=1$ での滑らかな極限が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータがシフトされた一般化超幾何関数 ${}_{p+1}F_p$ を、元の関数の微分の基底に体系的に還元する方法は何か？
• RQ2 引数 $z$ が $1$ に近づく特異点 $z=1$ において、微分還元の適切な極限手続きは何か？
• RQ3 ${}_{p+1}F_p$ の $\varepsilon$-展開をハイパーログリズムで表現できるか？ これにより $z=1$ への解析接続が可能になるか？
• RQ4 パラメータが整数分だけシフトされたとき、微分還元作用素はどのように振る舞い、$\theta$-微分の最大次数は何か？
• RQ5 ${}_{p+1}F_p$ の $z=1$ における $\varepsilon$-展開の構造は何か？ また、物理的図の計算において効率的に計算するにはどうすればよいか？

主な発見

• ${}_{p+1}F_p(\vec{a}+\vec{m}; \vec{b}+\vec{n}; z)$ の微分還元は、元の関数とその最初の $p$ 階微分の線形結合として表現され、係数は $z$ とパラメータの有理関数である。
• $z=0$ では還元により $\{1, \theta\}$ を ${}_{3}F_2$ 関数に作用させた基底が得られるが、$z=1$ では $\{1, \theta, \theta^2\}$ を ${}_{4}F_3$ 関数に作用させる必要がある。
• $x=0$ および $x=1$ の $q$-ループバブル図に対して還元を行うと、パラメータがシフトされた特定の超幾何関数が得られ、物理的図への適用可能性が裏付けられる。
• ${}_{p}F_{p-1}$ の $z=1$ における $\varepsilon$-展開は、$\varepsilon^j$ の級数として書くことができ、その係数にはハイパーログリズム ${\rm Li}_{\vec{s}}(\vec{\lambda_q}^{\vec{J}}, \lambda_q^k \xi)$ が含まれる。ここで $\xi$ は $z$ と代数的に関係する。
• $z \to 1-z$ の変換はハイパーログリズムの構造を保ち、一貫した解析接続と $z=1$ での滑らかな極限を可能にする。
• 本手法は現在の物理的応用にとって実用的であり、$\varepsilon$-展開の係数は数個しか必要とせず、既存の計算パッケージですでに実装済みである。