[論文レビュー] Differential restriction categories

J.R.B. Cockett, G. S. H. Cruttwell+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、微分可能関数の部分的かつ局所的な写像を代数的公理で一元的に扱えるようにする、微分制限圏（differential restriction categories）を導入する。これは、R^n の開部分集合上で定義された部分的かつ滑らかな写像をモデル化するための代数的枠組みである。微分構造がジョイン完備化および古典的完備化を介して持ち上がるという事実を示しており、たとえ一点でのみ定義された関数の「芽（germ）」であっても、良好に定義された微分を有することが示され、微分積分学が完全に代数的かつ構成的に部分的かつ局所的写像へと拡張されることを示している。

ABSTRACT

We combine two recent ideas: cartesian differential categories, and restriction categories. The result is a new structure which axiomatizes the category of smooth maps defined on open subsets of $\R^n$ in a way that is completely algebraic. We also give other models for the resulting structure, discuss what it means for a partial map to be additive or linear, and show that differential restriction structure can be lifted through various completion operations.

研究の動機と目的

• R^n の開部分集合上で定義されたような、部分的滑らかな写像（例：孤立した特異点を持つ滑らかな関数）を、代数的公理によって圏論的枠組みで形式化すること。
• カルテジアン微分圏と制限圏を統合し、微分と部分的性の代数的本質を捉える新しい構造を構築すること。
• 部分的写像の文脈において、加法的、線形的、強く加法的な写像を定義し、特徴づけること。
• 微分構造が完備化操作（特にジョイン完備化および古典的完備化）を介して保存されることを示すこと。
• 一点付近や局所的に定義された写像（芽）ですら、この枠組み内において意味的に微分可能であることを示すこと。

提案手法

• カルテジアン微分圏と制限圏を統合した微分制限圏を導入し、微分、制限、およびそれらの相互作用に関する公理を定義する。
• 左加法的制限圏を定義し、互換性のある写像のジョインを用いて部分的性と整合性をモデル化する。
• ジョイン完備化の構成を適用し、互換性のある部分的写像のジョインを自由に追加する。この完備化された圏において微分構造が持ち上がる、という事実を証明する。
• 古典的完備化の構成を適用し、制限圏について古典的推論を可能にする。微分構造が関数の芽を通じて持ち上がる、という事実を示す。
• 分数モナドと有理関数を用いて理論のモデルを構成する。特に、非分配的分数構成を扱うために弱いrig（weak rigs）を用いる。
• 関数の芽が点で定義される場合に、その微分が自然に持ち上がるという事実を示すことにより、微分制限圏の古典的完備化が再び微分制限圏であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^n の開部分集合上で定義された部分的写像（例：孤立した特異点を持つ滑らかな関数）について、微分積分学を代数的公理で形式化できるか？
• RQ2 加法性と線形性の概念を圏論的枠組みにおいて、部分的写像へと意味的に拡張できるか？
• RQ3 互換性のある部分的写像のジョインを自由に追加するジョイン完備化を介して、制限圏上の微分構造が持ち上がるか？
• RQ4 閉集合上や芽として定義された写像を扱えるようにする古典的完備化を介して、微分構造が保存されるか？
• RQ5 一点のみで定義された関数や閉集合上で定義された関数の微分の圏論的・代数的性質は何か。これは芽とどのように関係するか？

主な発見

• 微分制限圏の古典的完備化は再び微分制限圏である。これは、微分構造が部分的写像についての古典的推論と整合することを示している。
• 微分構造はジョイン完備化を介して持ち上がる。これにより、互換性のある部分的写像のジョインが保存され、微分がジョイン演算と可換であることが保証される。
• 一点でのみ定義された写像（例：f(x) = 2x at x = 5）は、芽として解釈可能であり、その微分はこの枠組み内で良好に定義される。
• 分数モナドを用いた有理関数の構成により、理論のモデルが得られるが、分数構成が非分配的であるため、弱いrigを用いる必要がある。
• 微分制限圏からその古典的完備化への単位関手は、加法性、強く加法性、線形性を保存する。これにより、完備化の間で構造的一致性が保証される。
• この理論は、部分的性やリソース感受性計算を含む文脈における単純型微分ラムダ計算の意味的基盤を提供する。