[論文レビュー] Differential Rigidity of Anosov Actions of Higher Rank Abelian Groups and Algebraic Lattice Actions

A. Katok, Ralf Spatzier|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 1997

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、高ランクアーベル群のアノソフ作用およびコンpakト多様体上の代数的ラティス作用に対して、非定常正規形理論の新規な応用により $C^∞$-局所剛性を確立する。この研究は、このような作用が小さな $C^∞$-摂動に対して滑らかに共役であることを証明し、トーラスおよびニルマンフォールド自己同型、およびフルステンベルク境界（特に射影空間）上の作用について長年の剛性問題を解決する。

ABSTRACT

We show that most homogeneous Anosov actions of higher rank Abelian groups are locally smoothly rigid (up to an automorphism). This result is the main part in the proof of local smooth rigidity for two very different types of algebraic actions of irreducible lattices in higher rank semisimple Lie groups: (i) the Anosov actions by automorphisms of tori and nil-manifolds, and (ii) the actions of cocompact lattices on Furstenberg boundaries, in particular, projective spaces. The main new technical ingredient in the proofs is the use of a proper "non-stationary" generalization of the classical theory of normal forms for local contractions.

研究の動機と目的

• 高ランクアーベル群のコンパクト多様体上におけるアノソフ作用の $C^\infty$-局所剛性を確立すること。
• 特にトーラスおよびニルマンフォールドの自己同型に関して、剛性結果を代数的ラティス作用へ拡張すること。
• 従来の手法が失敗した、フルステンベルク境界（射影空間を含む）におけるコまっくラティス作用の解析。
• 非一様双曲的性質を扱うために、古典的正規形理論の非定常一般化を高ランク力学系に開発すること。
• このような作用の軌道 foliation が、十分小さな $C^\infty$-摂動に対し滑らかに同値であることを証明すること。

提案手法

• 非一様双曲的性質を扱うために、局所的収縮写像に対する古典的正規形理論の非定常一般化を、高ランクアーベル作用に適応する。
• 弱不安定foliationのホロノミー表現を用いて、同調空間上の軌道foliationの摂動を解析する。
• $\mathcal{W}^+$ および $\mathcal{W}^-$ の $C^1$-小摂動を介して、ホロノミー作用の $C^1$-小摂動を構成する。
• 補題 7 を適用して、摂動済みと元のfoliationの間で $C^1$-近い $C^\infty$-軌道同値を得る。
• $\mathcal{W}^+$ および $\mathcal{W}^-$ に $C^1$-近い一意的な $c$-不変foliation の存在を活用し、ホロノミー作用の $C^\infty$-共役を結論づける。
• $\mathcal{W}^+$ のファイバー $G/P$ 上でのホロノミー表現が $\gamma \in \Gamma$ による右乗法として与えられることを特定し、摂動の代数的制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランクアーベル群のコンパクト多様体上におけるアノソフ作用に対して、$C^\infty$-局所剛性を確立できるか？
• RQ2 トーラスおよびニルマンフォールド上における不可約ラティスのアノソフ作用は、十分小さな $C^\infty$-摂動に対し滑らかに剛性を示すか？
• RQ3 従来の手法が失敗した、フルステンベルク境界（例えば射影空間）上での作用に対しても剛性結果を拡張できるか？
• RQ4 非定常正規形理論は、高ランク作用における非一様双曲的力学を十分に制御できるか？
• RQ5 高ランクアーベル群作用の軌道foliation は、自身の十分 $C^1$-小な摂動に対し $C^\infty$-軌道同値であるか？

主な発見

• 高ランクアーベル群のほとんどすべての同調的アノソフ作用は、自己同型を除いて局所的に $C^∞$-剛性を示す。
• 不可約ラティスによるトーラスまたはニルマンフォールド上の自己同型作用は $C^\infty$-局所剛性を示す。
• コンパクトラティスによるフルステンベルク境界（射影空間を含む）上での作用は $C^\infty$-局所剛性を示す。
• 弱不安定foliation $\mathcal{W}^+$ の $G/P$ 上でのホロノミー表現は、$\gamma \in \Gamma$ による右乗法として与えられ、摂動の精密制御を可能にする。
• $C^1$-小なホロノミー作用の摂動は、$\mathcal{W}^+$ および $\mathcal{W}^-$ の $C^1$-小摂動を引き起こし、これらは $C^1$-近い微分同相写像を介して元のものと $C^\infty$-軌道同値である。
• $\mathcal{W}^+$ および $\mathcal{W}^-$ に $C^1$-近い一意的な $c$-不変foliation の存在により、摂動済みfoliation が元のものと $C^\infty$-軌道同値であることが保証され、ホロノミー作用の $C^\infty$-共役が証明される。