[論文レビュー] Differential Topology of Gaussian Random Fields: applications to Random Algebraic Geometry

Antonio Lerario, Michele Stecconi|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ランダムKostlan多項式写像に微分位相幾何学的手法を適用し、実代数幾何学におけるランダム特異点の局所構造を分析する。ランダム特異点の期待Betti数または点数が、複素代数幾何学から得られる決定的上界（通常はその上界）の平方根に比例して増大することを示す一般化された「平方根則」を確立する。次数が増加するにつれて、その成長率が上界の平方根に比例することを示している。

ABSTRACT

Using the tools that we have developed in arXiv:1902.03805, we study properties of random Kostlan polynomial maps (viewed as random variables in the space of $C^{\infty}$-maps). We apply these tools to the study of problems in random real algebraic geometry, with particular emphasis on the local structure of `random singularities' (i.e. the set of points where a map has some high-order jet of a prescribed type). This study leads to a generalized `square-root law' for the topology (Betti numbers or number of points) of a random singularity: as the degree goes to infinity, the expected value of this number grows like the square root of the corresponding deterministic upper bound (most of the times coming from complex algebraic geometry). Finally, we establish two technical results of independent interest (used for the deterministic estimate of the topology of jet-type singularities and for the lower bound on its expectation): first we obtain Morse inequalities for stratified spaces that are `almost' semialgebraic, second we prove a semicontinuity result for the topology of the zero set of a nondegenerate equation under a small $C^0$ perturbation of this equation.

研究の動機と目的

• ランダムKostlan多項式写像を用いて、実代数幾何学におけるランダム特異点の局所構造を分析すること。
• Betti数や点数で測定されるランダム特異点のトポロジーが、次数の増加に伴いどのようにスケーリングするかを理解すること。
• このような特異点の期待トポロジーに対して一般化された「平方根則」を確立すること。複素幾何学からの決定的上界と対比して、その性質を明らかにすること。
• ジャット型特異点のトポロジーを推定するための技術的ツールと、摂動安定性を用いた期待値の上限を求めるためのツールを開発すること。

提案手法

• arXiv:1902.03805 に用いられる道具を用い、ランダムKostlan写像を $C^{\backslash infty}$-写像の空間における確率変数として扱う。
• 半代数的でない設定にまで拡張された、『ほとんど』半代数的であるとされる区分的空間に適用可能なモース型不等式を適用する。
• 非退化方程式の $C^0$-摂動が小さい場合に、零点集合のトポロジーがどのように変化するかを示す半連続性結果を証明する。
• ジャット型特異点のトポロジーに対する決定的推定値を用いて、ランダム特異点の期待トポロジーを上限づける。
• 確率論的解析と微分位相幾何学を組み合わせ、ランダム特異点の期待トポロジー不変量の漸近的スケーリング則を導出する。
• ランダム多項式およびそのジャットの構造を活用し、高次元設定における特異点の典型的な振る舞いを特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム特異点における期待Betti数または点数は、Kostlan多項式写像の次数に伴いどのようにスケーリングするか？
• RQ2 ランダム実特異点の期待トポロジーと、複素代数幾何学から導かれる決定的上界との間の正確な漸近的関係は何か？
• RQ3 非退化方程式の小さな $C^0$-摂動に対して、零点集合のトポロジー的性質はどの程度安定しているか？
• RQ4 モース不等式は、完全に半代数的でない区分的空間へと拡張可能か？また、その拡張は特異点トポロジーの推定にどのように寄与するか？
• RQ5 ジャット型特異点は、ランダム実代数的集合のグローバルトポロジカル複雑さを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• ランダム特異点における期待Betti数または点数は、複素代数幾何学から得られる対応する決定的上界の平方根に漸近的に比例して増大する。
• 一般化された「平方根則」は、Kostlan多項式写像の次数が増加するにつれて、ほとんどのジャット型特異点のタイプに成立する。
• モース不等式は、『ほとんど』半代数的であるとされる区分的空間へと拡張され、半代数的でない設定でもトポロジー推定が可能になった。
• 非退化方程式の小さな $C^0$-摂動に対して、零点集合のトポロジーに関する半連続性結果が証明され、トポロジー不変量の安定性が保証された。
• ジャット型特異点のトポロジーに対する決定的上界が、ランダム特異点トポロジーの期待値を制御するために効果的に用いられた。
• 解析により、ランダム実代数的集合は、それに対応する複素版と比較して顕著にトポロジカルな複雑さが低減しており、複素上界の平方根に比例してスケーリングすることが確認された。