[論文レビュー] Differentially Private Approximations of a Convex Hull in Low Dimensions

Yue Gao, Or Sheffet|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 41被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、低次元ユークリッド空間における凸包の主要な幾何的特徴（直径、幅、体積、最小包含ボックスなど）を近似する、最初の微分プライベートなアルゴリズムを提示する。Tukey深さを活用し、新たな二基準近似フレームワークを導入することで、著者らは pα,∆)-カーネルを設計し、乗法的および深さに基づく誤差境界内でプライバシーを確保しながら幾何的有用性を維持する形でこれらの特徴をプライベートに推定する。

ABSTRACT

We give the first differentially private algorithms that estimate a variety of geometric features of points in the Euclidean space, such as diameter, width, volume of convex hull, min-bounding box, min-enclosing ball etc. Our work relies heavily on the notion of \emph{Tukey-depth}. Instead of (non-privately) approximating the convex-hull of the given set of points $P$, our algorithms approximate the geometric features of the $κ$-Tukey region induced by $P$ (all points of Tukey-depth $κ$ or greater). Moreover, our approximations are all bi-criteria: for any geometric feature $μ$ our $(α,Δ)$-approximation is a value "sandwiched" between $(1-α)μ(D_P(κ))$ and $(1+α)μ(D_P(κ-Δ))$. Our work is aimed at producing a \emph{$(α,Δ)$-kernel of $D_P(κ)$}, namely a set $\mathcal{S}$ such that (after a shift) it holds that $(1-α)D_P(κ)\subset \mathsf{CH}(\mathcal{S}) \subset (1+α)D_P(κ-Δ)$. We show that an analogous notion of a bi-critera approximation of a directional kernel, as originally proposed by Agarwal et al~[2004], \emph{fails} to give a kernel, and so we result to subtler notions of approximations of projections that do yield a kernel. First, we give differentially private algorithms that find $(α,Δ)$-kernels for a "fat" Tukey-region. Then, based on a private approximation of the min-bounding box, we find a transformation that does turn $D_P(κ)$ into a "fat" region \emph{but only if} its volume is proportional to the volume of $D_P(κ-Δ)$. Lastly, we give a novel private algorithm that finds a depth parameter $κ$ for which the volume of $D_P(κ)$ is comparable to $D_P(κ-Δ)$. We hope this work leads to the further study of the intersection of differential privacy and computational geometry.

研究の動機と目的

• 低次元データセットの基本的幾何的特徴（直径、幅、凸包の体積など）に対する微分プライベートなアルゴリズムの不足に取り組むこと。
• 個々のデータポイントの変更に非常に感受しやすい幾何的測度が、適切に管理されない限り微分プライバシーを満たさないという問題を克服すること。
• i.i.d. データ抽出に対して一般化可能なプライベート近似フレームワークを構築すること。そのために、幾何的構造のロバストで低感受性な代理指標としてTukey深さを用いる。
• 凸包の近似が乗法的および深さに基づく誤差境界内で実現される、pα,∆)-カーネル S を構築すること。S はプライベートでコンパクトな集合であり、平行移動後に (1−α)DP(κ) ⊂ CH(S) ⊂ (1+α)DP(κ−∆) を満たす。

提案手法

• データセット P に対するTukey深さが κ 以上の点の集合として、κ-Tukey領域 DP(κ) を定義する。これは凸多面体を形成する。
• 1つのデータポイントの追加・削除で深さが最大1ずつ変化するTukey深さの低感受性特性を活用し、微分プライベートな計算を可能にする。
• 二基準近似を導入する：幾何的測度 µ に対する pα,∆)-近似とは、(1−α)µ(DP(κ)) と (1+α)µ(DP(κ−∆)) の間にある値である。
• 平行移動後に (1−α)DP(κ) ⊂ CH(S) ⊂ (1+α)DP(κ−∆) を満たす pα,∆)-カーネル S を構築する。これにより、プライバシー下でも幾何的有用性が保証される。
• 最小包含ボックスを推定するプライベートなアルゴリズムを適用し、座標スケーリングを用いて領域を「太った」Tukey領域に変換する。
• 独自のプライベート深さ推定アルゴリズムを用いて、vol(DP(κ)) ≈ vol(DP(κ−∆)) となる深さパラメータ κ を特定し、効果的なカーネル構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低次元における凸包の幾何的特徴（直径、幅、体積など）を近似する微分プライベートなアルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ2 乗法的要因と浅い深さ領域の両方の境界で制限される二基準近似を、微分プライバシーの下でどのように構築できるか？
• RQ3 Tukey領域を、体積が浅い領域に比例する「太った」領域（効率的なカーネル構築を可能にする）にプライベートに変換することは可能か？
• RQ4 体積が DP(κ) と DP(κ−∆) でほぼ等しくなるような深さパラメータ κ を、プライベートに特定できるか？これにより安定な近似が可能になる。

主な発見

• 本稿では、低次元ユークリッド空間における凸包の基本的幾何的特徴（直径、幅、体積、最小包含ボックス、最小包含球）を近似する、最初の微分プライベートなアルゴリズムを提示する。
• 提案された pα,∆)-カーネルにより、プライベート出力集合 S の凸包 CH(S) が (1−α)DP(κ) ⊂ CH(S) ⊂ (1+α)DP(κ−∆) を満たすことが保証され、プライバシー制約下でも頑健な幾何的近似が実現される。
• 最小包含球に関しては、CH(S) の半径が [ (1−α1)rκ, (1+α1)rκ−∆ ] の範囲に収束することが保証される。ここで rκ および rκ−∆ はそれぞれ DP(κ) および DP(κ−∆) の最小包含球の半径である。
• 最小包含楕円体またはボックスに関しては、α1 < 1/(4d) のとき、CH(S) の体積が [ (1−2dα1)Vκ, (1+2dα1)Vκ−∆ ] の範囲に収束し、体積に基づく測定値の有用性が保証される。
• 表面積に関しては、α1 < 1/(4(d−1)) の仮定の下で、CH(S) の面の表面積が [ (1−2(d−1)α1)Aκ, (1+2(d−1)α1)Aκ−∆ ] の範囲に収束する。ここで Aκ および Aκ−∆ はそれぞれ DP(κ) および DP(κ−∆) の面の表面積である。
• vol(DP(κ)) ≈ vol(DP(κ−∆)) となるような深さパラメータ κ を推定するプライベートなアルゴリズムが開発され、初期段階で領域が「太くない」場合でも、pα,∆)-カーネルの構築が可能になる。