[論文レビュー] Differentials of higher order in non commutative differential geometry

Robert Coquereaux|ArXiv.org|Dec 30, 1996

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非可換微分幾何学における高次微分形式を、反復フレーム代数 $ F_n A = A^{\bigotimes 2^n} $ 内で順序 $ n $ のライブニッツ形式を定義することによって導入する。これは古典的なジェット理論的微分形式を一般化するものであり、非可換設定における高次微分形式の体系的な代数的枠組みを確立し、可換の場合を回復し、これらの形式の生成子と加群構造を提供する。

ABSTRACT

In differential geometry, the notation d^n f along with the corresponding formalism has fallen into disuse since the birth of exterior calculus. However, differentials of higher order are useful objects that can be interpreted in terms of functions on iterated tangent bundles (or in terms of jets). We generalize this notion to the case of non commutative differential geometry. For an arbitrary associative algebra A, one already knows how to define the differential algebra Omega(A) of universal differential forms over A. We define Leibniz forms of order n (these are not forms of degree n, ie they are not elements of Omega^n A) as particular elements of what we call the ``iterated frame algebra'' of order n, F_n A, which is itself defined as the 2^n tensor power of the algebra A. We give a system of generators for this iterated frame algebra and identify the A-module of forms of order n as a particular vector subspace included in the space of universal one-forms built over the iterated frame algebra of order n-1. We study the algebraic structure of these objects, recover the case of the commutative differential calculus of order n (Leibniz differentials) and give a few examples.

研究の動機と目的

• 従来、ジェットや反復接続 bundle を用いて定義されてきた高次微分形式の概念を、古典的微分幾何学から非可換微分幾何学へ一般化すること。
• 高次形式の基礎をなすものとして、結合的代数 $ A $ の $ 2^n $ 重テンソル積である反復フレーム代数 $ F_n A $ を新しい代数的構造として定義すること。
• 順序 $ n $ のライブニッツ形式を、$ \Omega^n A $ の要素とは異なる、$ F_{n-1} A $ 上の普遍的一次微分形式の空間内の特定の要素として導入・特徴づけること。
• 代数 $ A $ が可換である場合に、古典的な可換ケースの高次微分形式（ライブニッツ微分形式）が特別な場合として回復されることを示すこと。
• 反復フレーム代数の生成子系を提供し、$ A $-加群としての $ n $ 階微分形式の空間が $ F_{n-1} A $ 上の普遍的一次微分形式の部分空間として特定されることを明らかにすること。

提案手法

• 結合的代数 $ A $ の $ 2^n $ 重テンソル積として反復フレーム代数 $ F_n A $ を構成し、高次微分形式の背後にある代数的構造を一般化する。
• ライブニッツ形式の順序 $ n $ を、$ \Omega^n A $ の要素とは異なる、$ F_{n-1} A $ 上の普遍的一次微分形式の空間内の特定の要素として定義することで、標準的な微分形式とは明確に区別する。
• 代数 $ A $ 上の普遍的微分代数 $ \Omega(A) $ を出発点とし、それを反復代数 $ F_n A $ へ拡張することで、高次構造を構築する。
• $ A $-加群としての $ n $ 階微分形式の空間を、$ F_{n-1} A $ 上の普遍的一次微分形式のベクトル部分空間として特定し、非可換枠組みと整合性を保つ。
• 反復フレーム代数 $ F_n A $ の生成子系を提供することで、非可換設定における明示的計算と構造的解析を可能にする。
• 可換の場合に、この構成が古典的な高次微分形式（ライブニッツ微分形式）を回復することを示し、一般化の妥当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来、ジェットや反復接続 bundle を用いて定義されてきた高次微分形式は、非可換代数へどのように一般化可能か？
• RQ2 非可換微分幾何学における高次微分形式を定義するための自然な定義域となる代数的構造は何か？
• RQ3 順序 $ n $ のライブニッツ形式は、標準的な微分形式 $ \Omega^n A $ とどのように関係しているのか？なぜそれらは $ \Omega^n A $ の要素ではないのか？
• RQ4 古典的な高次微分形式理論（ライブニッツ微分形式）は、この非可換枠組みの中で特別な場合として回復可能か？
• RQ5 反復フレーム代数 $ F_n A $ は、高次微分形式の代数的構造を整理するために果たす役割は何か？

主な発見

• 反復フレーム代数 $ F_n A = A^{\bigotimes 2^n} $ が、非可換幾何学における高次微分形式を定義する基盤となる代数的構造として導入された。
• ライブニッツ形式の順序 $ n $ は、$ F_{n-1} A $ 上の普遍的一次微分形式の空間内の特定の要素として定義され、$ \Omega^n A $ の要素とは異なり、新たな種類の対象を確立した。
• $ A $-加群としての $ n $ 階微分形式の空間は、$ F_{n-1} A $ 上の普遍的一次微分形式のベクトル部分空間として特定され、明確な代数的埋め込みが得られた。
• 反復フレーム代数 $ F_n A $ の生成子系が提供され、非可換設定における明示的構成と計算が可能になった。
• 可換の場合に、この構成は古典的な高次微分形式理論（ライブニッツ微分形式）を回復し、既知の結果と整合することを確認した。
• この枠組みにより、非可換代数への高次微分形式の古典的ジェット理論的解釈が一般化され、非可換微分幾何学における適用範囲が拡張された。