[論文レビュー] Differentiated uniformization: A new method for inferring Markov chains on combinatorial state spaces including stochastic epidemic models

Kevin Rupp, Rudolf Schill+7 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complex Network Analysis Techniques被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、組み合わせ的状態空間を有する連続時間マルコフ連鎖（CTMC）—例えば確率的SIR疫病モデル—において、遷移率行列Qのテンソル積構造を活用することで、行列指数関数およびその微分を効率的に計算する、新しい手法「微分可能なユニフォーム化（differentiating uniformization）」を提案する。この手法により、感染率や回復率といったパラメータのスケーラブルで数値的に安定した推定が可能となり、オーストリアにおける新型コロナウイルス感染症の第1波の完全ベイズ解析を通じて、時間的に変化する伝播ダイナミクスと不確実性の定量化が実証された。

ABSTRACT

Motivation: We consider continuous-time Markov chains that describe the stochastic evolution of a dynamical system by a transition-rate matrix $Q$ which depends on a parameter $θ$. Computing the probability distribution over states at time $t$ requires the matrix exponential $\exp(tQ)$, and inferring $θ$ from data requires its derivative $\partial\exp\!(tQ)/\partialθ$. Both are challenging to compute when the state space and hence the size of $Q$ is huge. This can happen when the state space consists of all combinations of the values of several interacting discrete variables. Often it is even impossible to store $Q$. However, when $Q$ can be written as a sum of tensor products, computing $\exp(tQ)$ becomes feasible by the uniformization method, which does not require explicit storage of $Q$. Results: Here we provide an analogous algorithm for computing $\partial\exp\!(tQ)/\partialθ$, the differentiated uniformization method. We demonstrate our algorithm for the stochastic SIR model of epidemic spread, for which we show that $Q$ can be written as a sum of tensor products. We estimate monthly infection and recovery rates during the first wave of the COVID-19 pandemic in Austria and quantify their uncertainty in a full Bayesian analysis. Availability: Implementation and data are available at https://github.com/spang-lab/TenSIR.

研究の動機と目的

• 組み合わせ的状態空間を有する高次元CTMCにおける行列指数関数およびその微分の計算不能性に対処すること。
• SIR疫病モデルのようなモデルで、巨大な遷移率行列Qを保存・計算するという課題を克服すること。
• 単調な状態遷移を仮定しないCTMCにおけるパrameter推定のための数値的に安定でスケーラブルな手法を開発すること。
• 感染率や回復率といった疫病パラメータの完全ベイズ推定、ならびに不確実性の定量化を可能にすること。
• ユニフォーム化の適用範囲をパラメータ微分の計算に拡張し、出生過程を超えるモデルにおける推論を可能にすること。

提案手法

• 遷移率行列Qをテンソル積の和として表現し、Qの明示的保存を避けて行列-ベクトル乗算を可能にする。
• ユニフォーム化法を適用し、指数的減衰を伴うべきべき級数展開により行列指数関数 exp(tQ) を計算する。
• モデルパラメータθに関する行列指数関数の微分を計算するための「微分可能なユニフォーム化」アルゴリズムを導出する。
• 各級数項において、全行列演算を回避するため、テンソル構造を活用して P^n p(0) を効率的に計算する。
• 時間変動パラメータの完全ベイズ推定のため、ハミルトニアン・モンテカルロサンプリングを実装する。
• 原則として低ランクテンソル形式を活用することで、数百の変異やコンpartmentsを有するモデルへのスケーラビリティを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Qが保存可能な大きさでない組み合わせ的状態空間を有するCTMCにおいて、行列指数関数およびその微分を効率的に計算できるか？
• RQ2 Qをテンソル積の和として表現することで、一時的分布およびそのパラメータ感度のスケーラブルな計算が可能になるか？
• RQ3 微分可能なユニフォーム化は、非単調なプロセス（SIRモデルなど）において、既存手法を上回る汎用性を示せるか？
• RQ4 状態空間が指数的に巨大である場合、時間変動パラメータの完全ベイズ推定はどのように実現できるか？
• RQ5 本手法は、同様の組み合わせ的複雑性を有する腫瘍進化や捕食者-被捕食者ダイナミクスなどの他のモデルへも拡張可能か？

主な発見

• 微分可能なユニフォーム化手法は、集団サイズに対して立方的にスケーリングするが、指数的状態空間を有する大規模SIRモデルに対しても実用的である。
• 本手法により、オーストリアにおける新型コロナウイルス感染症第1波期における月次感染率・回復率の完全ベイズ推定が可能となった。
• 事後分布推定では、2020年4月から8月にかけて回復率が1日あたり約0.07（平均回復期間～2週間）であった。
• 2020年3月の推定では、回復率が1か月平均で約0.03/日であったが、これは回復事例の遅れ報告によるものと推定される。
• 数か月にわたりパラメータ推定に顕著な不確実性が認められ、モデルとデータの不適合性やパラメータの非定常性を示唆している。
• 本手法は、テンソル構造を有するQを有する他のCTMC、特に腫瘍進化や化学反応ネットワークに対しても一般化可能である。