[論文レビュー] Differentiating maps into L^1 and the geometry of BV functions

Jeff Cheeger, Bruce Kleiner|ArXiv.org|Nov 30, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ やヘイゼンベルク群 $\mathbb{H}$ などの特定の距離測度空間から $L^1$ へのリプシッツ連続写像に対して、古典的な微分可能性が失敗する設定においても、新たな形の微分可能性を確立する。主な結果として、ヘイゼンベルク群が $L^1$ に双リプシッツ埋め込みを持たないことが証明され、リーとノアールの予想を確認し、理論的コンピュータ科学におけるゴエマンズ＝リンゲアル予想の自然な反例を提供する。

ABSTRACT

This is one of a series of papers examining the interplay between differentiation theory for Lipschitz maps, X-->V, and bi-Lipschitz nonembeddability, where X is a metric measure space and V is a Banach space. Here, we consider the case V=L^1 where differentiability fails. We establish another kind of differentiability for certain X, including R^n and H, the Heisenberg group with its Carnot-Cartheodory metric. It follows that H does not bi-Lipschitz embed into L^1, as conjectured by J. Lee and A. Naor. When combined with their work, this provides a natural counter example to the Goemans-Linial conjecture in theoretical computer science; the first such counterexample was found by Khot-Vishnoi. A key ingredient in the proof of our main theorem is a new connection between Lipschitz maps to L^1 and functions of bounded variation, which permits us to exploit recent work on the structure of BV functions on the Heisenberg group.

研究の動機と目的

• 古典的な微分可能性が失敗する状況下でも、$L^1$ へのリプシッツ連続写像に対して新たな微分可能性の形式を確立すること。
• ヘイゼンベルク群が $L^1$ に双リプシッツ埋め込みを持たないというリーとノアールの予想を解決すること。
• 理論的コンピュータ科学におけるゴエマンズ＝リンゲアル予想に対する自然な反例を提供すること。
• $L^1$ 値リプシッツ連続写像と有界 variation (BV) 関数との間のカット測度を介した関係を、ヘイゼンベルク群上の最新の BV 構造理論を活用して確立すること。
• スケーリングの下でのカット測度の漸近的挙動を分析するための枠組みを構築すること。半空間近似と境界長の制御を用いる。

提案手法

• 関連するカット測度のスケーリング極限を分析することで、$L^1$ 値関数への新しい微分可能性の概念を導入する。
• 特に FP (Følner–Poincaré) カット測度を介して、$L^1$ 値関数とカット測度の対応関係を用い、微分可能性を距離収束に翻訳する。
• ポincare 不等式と体積増大の推定を用いて、全不適切境界測度を制御し、カット距離における差異が小さくなるように保証する。
• スケーリングの下で元のカット測度に漸近的に一致する半空間に台を持つ近似カット測度を構成する。
• ヘイゼンベルク群上の BV 関数の構造理論 [FSSC01] を用いて、$L^1$ 値関数の等高線集合の境界を制御する。
• 三角不等式と $L^1$ ノルム推定を用いて、小さな球上で元のカット距離と近似カット距離の差異を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な微分可能性が失敗する状況下でも、$L^1$ へのリプシッツ連続写像に対して微分可能性の新たな形を確立できるか？
• RQ2 カーノン＝カラテオドリ距離を備えたヘイゼンベルク群は、$L^1$ に双リプシッツ埋め込みを持つか？
• RQ3 ヘイゼンベルク群上の BV 関数の構造を用いて、$L^1$ 値関数の漸近的挙動を分析できるか？
• RQ4 $L^1$ 値関数とカット測度の間の関係は、半空間による距離近似を可能にするか？
• RQ5 $L^1$ をターゲットとする非埋め込み定理の失敗は、新たな微分可能性構造の出現によって説明できるか？

主な発見

• 古典的な微分可能性が失敗する状況下でも、$\mathbb{R}^n$ およびヘイゼンベルク群 $\mathbb{H}$ から $L^1$ へのリプシッツ連続写像に対して、新たな微分可能性の形式が成立する。
• ヘイゼンベルク群は $L^1$ に双リプシッツ埋め込みを持たない。リーとノアールの予想が確認された。
• 証明により、関連する FP カット測度の吹き抜き（blow-ups）が、ほとんど至る点で半空間に台を持つ、平行移動不変なカット測度に収束することが示された。
• スケーリングされたカット距離とその半空間近似との $L^1$ 距離は、スケールが小さくなるにつれて 0 に近づき、その収束速度は $r \cdot \epsilon \delta^{-1}$ および $r \cdot \tau \delta$ で制御される。
• ポincare 不等式と体積二重性を用いて、全不適切境界測度を制御し、カット距離の差異が小さくなるように保証された。
• 本手法により、理論的コンピュータ科学におけるゴエマンズ＝リンゲアル予想に対する反例が得られ、特定の距離空間の $L^1$ 埋め込みに対する自然な幾何的障害が明らかになった。