[論文レビュー] Diffraction and Palm measure of point processes

Jean-Baptiste Gouéré|ArXiv.org|Aug 8, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、パルム測度論を用いて、定常的で、エルゴード的かつ二乗可積分な点過程に対して、回折測度の存在を確立する。確率的ℤᵈ部分集合およびカットアンドプロジェクション過程における自己相関および回折測度の明示的表現を導出し、回折測度が周期化されたスペクトル測度のフーリエ変換に一致することを示す。これにより、モデル集合や特異的回折パターンへの応用が可能となる。

ABSTRACT

Using the Palm measure notion, we prove the existence of the diffraction measure of all stationary and ergodic point processes. We get precise expressions of those measures in the case of specific processes : stochastic subsets of Z^d, sets obtained by the ``cut-and-project'' method.

研究の動機と目的

• 定常的で、エルゴード的かつ二乗可積分な点過程に対して、パルム測度論を用いて回折測度の存在を確立すること。
• i.i.d. または従属的なベルヌーイ過程を用いたℤᵈの確率的部分集合における自己相関および回折測度の明示的表現を導出すること。
• 特に、移動作用におけるエルゴード性の条件下で、カットアンドプロジェクション法によって構成された点過程の回折特性を分析すること。
• このような過程の回折測度を、周期化された強度測度のフーリエ変換として特徴づけること、特に関連する特異成分を含むこと。

提案手法

• 定常点過程のパルム測度を用いて、強度測度 I(ℙ̃) を定義し、これがほとんど確実に経験的自己相関測度 γ_R の弱収束極限に一致することを示す。
• 定常的で、エルゴード的かつ二乗可積分な過程に対して、lim_{R→∞} γ_R = I(ℙ̃) a.e. が成り立つという定理を適用し、自己相関測度の存在を確立する。
• ℤᵈの確率的部分集合に対して、自己相関を γ = ∑_{k∈ℤᵈ} E[X₀Xₖ] δ_k と表現し、回折測度を μ_p として周期化されたスペクトル測度 μ_p(A) = ∑_{k∈ℤᵈ} μ(A−k) で与える。
• カットアンドプロジェクション過程に対しては、ℝᵈ 上の定常点過程 φ から、部分空間 E への射影 π を用いて χ = π(φ) を構成する。このとき、(E×W) 内の異なる点がほとんど everywhere で E 内で異なる点に写ると仮定する。
• パルム測度を、f(w,ϕ) = p_E((w+ϕ) ∩ (E×W)) による αλ ⊗ ℙ̃_φ のプッシュフォワードとして構成する。ここで α は C_E + C_F のリーマン測度である。
• 強度測度のフーリエ変換を用いて回折測度を計算し、  ŵ(γ)(C) = α² ∫_{ℝᵈ} ŵ(I(ℙ̃))(dx) ŵ(ψ)(x_F^⊥) 1_C(x_E^⊥) を示す。ここで ψ = 1_W * 1_{-W} である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常的で、エルゴード的かつ二乗可積分な点過程の自己相関測度がほとんど確実に存在するための条件は何か？
• RQ2 ℤᵈ の確率的部分集合の回折測度は、元の過程のスペクトル測度を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 特に、元の過程が部分空間に沿った移動作用に関してエルゴード的である場合に、カットアンドプロジェクション法によって生成された点過程の回折測度の構造はどのようなものか？
• RQ4 このような過程において特異的回折測度が生じる可能性はあるか？その場合、元の過程にどのような条件下で生じるか？

主な発見

• 定常的で、エルゴード的かつ二乗可積分な点過程の自己相関測度はほとんど確実に存在し、そのパルム測度の強度測度に一致する。
• 定常的で、エルゴード的な過程 (X_k) によって定義されるℤᵈの確率的部分集合に対して、回折測度は、その過程のスペクトル測度 μ に関連する周期化スペクトル測度 μ_p に一致する。
• 特異的回折測度が生じ得る。例えば、スペクトル測度 μ = f(ν) で f がアークサイン級数により定義される場合、回折測度は μ = (1/4)∑_{k∈ℤ} δ_k + m に分解され、ここで m は純粋に特異的で1周期の測度である。
• カットアンドプロジェクション過程 χ = π(φ) に対して、自己相関測度は γ(C) = α ∑_{k∈ℤᵈ} ŵ(μ)(k) ψ(k_F) 1_C(k_E) で与えられる。ここで ψ = 1_W * 1_{-W} である。
• このような過程の回折測度は  ŵ(γ)(C) = α² ∫_{ℝᵈ} ŵ(ψ)(x_F^⊥) 1_C(x_E^⊥) μ_p(dx) として与えられ、射影と窓関数の役割が明確に示される。
• 元の過程 φ が確定的格子 ℤᵈ（つまり X ≡ 1）である場合、本手法はモデル集合に関する古典的結果を回復し、既存の准結晶回折理論と整合性を確認する。