[論文レビュー] Diffusion and superdiffusion from hydrodynamic projection

Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Quantum many-body systems参考文献 40被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、1次元多体系における拡散的および超拡散的輸送を記述するため、流体力学的射影をエーラー則を超えて拡張する。保存密度を一般化した可観測量のヒルベルト空間を構築することで、双線形チャージおよび分数的広がりを持つ可観測量を用いて、拡散および超拡散指数の厳密な下界を導出し、非線形フラクチュエーティング流体力学から知られているKPZおよびLévy指数を再現する。

ABSTRACT

Hydrodynamic projections, the projection onto conserved charges representing ballistic propagation of fluid waves, give exact transport results in many-body systems, such as the exact Drude weights. Focussing one one-dimensional systems, I show that this principle can be extended beyond the Euler scale, in particular to the diffusive and superdiffusive scales. By hydrodynamic reduction, Hilbert spaces of observables are constructed that generalise the standard space of conserved densities and describe the finer scales of hydrodynamics. The Green-Kubo formula for the Onsager matrix has a natural expression within the diffusive space. This space is associated with quadratically extensive charges, and projections onto any such charge give generic lower bounds for diffusion. In particular, bilinear expressions in linearly extensive charges lead to explicit diffusion lower bounds calculable from the thermodynamics, and applicable for instance to generic momentum-conserving one-dimensional systems. Bilinear charges are interpreted as covariant derivatives on the manifold of maximal entropy states, and represent the contribution to diffusion from scattering of ballistic waves. An analysis of fractionally extensive charges, combined with clustering properties from the superdiffusion phenomenology, gives lower bounds for superdiffusion exponents. These bounds reproduce the predictions of nonlinear fluctuating hydrodynamics, including the Kardar-Parisi-Zhang exponent 2/3 for sound-like modes, the Levy-distribution exponent 3/5 for heat-like modes, and the full Fibonacci sequence.

研究の動機と目的

• 1次元多体系における拡散的および超拡散的スケールでの輸送を記述するため、流体力学的射影をエーラー則を超えて一般化すること。
• 保存密度を一般化した可観測量のヒルベルト空間を構築し、より細かい流体力学的スケールを記述すること。
• 熱力学的データと射影技術を用いて、拡散および超拡散指数の下界を体系的に導出するフレームワークを提供すること。
• 線形広がりを持つチャージにおける双線形表現を、拡散のグリーン＝クーブ式と関連づけ、拡散的ヒルベルト空間で解釈すること。
• 超拡散の現象論から得られるクラスタリング性質を用いて、分数的広がりを持つチャージを用いて超拡散指数の下界を導出すること。

提案手法

• 拡散的および超拡散的スケールに対応する可観測量のヒルベルト空間を構築するための流体力学的還元手続きを導入する。
• 2次的広がりを持つチャージに関連する拡散的ヒルベルト空間を定義し、オンサーラー行列のグリーン＝クーブ式の自然な表現を可能にする。
• 線形広がりを持つチャージにおける双線形表現を射影として用い、拡散の一般的な下界を導出し、最大エントロピー状態の多様体上の共変微分として解釈する。
• 0から1の間のスケーリング指数を持つ分数的広がりを持つチャージを分析し、超拡散的挙動を調べ、超拡散指数の下界を導出する。
• 超拡散の現象論から得られるクラスタリング性質を適用し、相関関数のスケーリングを制約し、指数の下界を導出する。
• 熱力学的データと射影形式主義を組み合わせ、微視的詳細を必要とせずに、拡散および超拡散指数の明示的な下界を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流体力学的射影は、1次元系における拡散的および超拡散的輸送を記述するため、エーラー則を超えて拡張可能か？
• RQ2 双線形チャージは、拡散の下界を生成する役割を果たすが、それらは最大エントロピー状態の多様体の幾何学的性質とどのように関係するか？
• RQ3 分数的広がりを持つチャージは、超拡散指数の厳密な下界を導出するためにどのように利用可能か？
• RQ4 導出された下界は、非線形フラクチュエーティング流体力学から知られている2/3（KPZ）および3/5（Lévy）の指数を再現するか？
• RQ5 グリーン＝クーブ式と、流体力学的還元によって構築された拡散的ヒルベルト空間との関係は何か？

主な発見

• 2次的広がりを持つチャージから構築された拡散的ヒルベルト空間は、オンサーラー行列のグリーン＝クーブ式を自然に表現するフレームワークを提供する。
• 線形広がりを持つチャージにおける双線形表現は、明示的かつ熱力学的に計算可能な拡散の下界をもたらし、一般の運動量保存を満たす1次元系に適用可能である。
• これらの双線形チャージは、最大エントロピー状態の多様体上の共変微分として解釈され、球面波からの散乱寄与としての拡散を表す。
• 分数的広がりを持つチャージとクラスタリング性質を組み合わせることで、超拡散指数の厳密な下界が得られ、音響モードに対してKardar-Parisi-Zhang指数2/3を再現する。
• 同じフレームワークは、熱的モードに対してLévy分布指数3/5を再現し、超拡散領域におけるフル・フィボナッチ数列の指数を予測する。
• 導出された下界は、モデルに依存せず、微視的詳細を必要とせず、熱力学的データと対称性原理に基づくため、正確である。