[論文レビュー] Diffusion and superdiffusion from hydrodynamic projections

Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1次元多体系における拡散的および超拡散的輸送を記述するため、Eulerスケールを越えた流体力学的射影フレームワークを導入する。保存量を用いて運動量保存、拡散、超拡散スケールのヒルベルト空間を構築することで、熱力学的データから拡散および超拡散指数の厳密な下界を導出し、Kardar-Parisi-Zhang指数 $2/3$ や非線形フラクチュエーティング流体力学から得られる他の普遍的値を再現する。

ABSTRACT

Hydrodynamic projections, the projection onto conserved charges representing ballistic propagation of fluid waves, give exact transport results in many-body systems, such as the exact Drude weights. Focussing one one-dimensional systems, I show that this principle can be extended beyond the Euler scale, in particular to the diffusive and superdiffusive scales. By hydrodynamic reduction, Hilbert spaces of observables are constructed that generalise the standard space of conserved densities and describe the finer scales of hydrodynamics. The Green-Kubo formula for the Onsager matrix has a natural expression within the diffusive space. This space is associated with quadratically extensive charges, and projections onto any such charge give generic lower bounds for diffusion. In particular, bilinear expressions in linearly extensive charges lead to explicit diffusion lower bounds calculable from the thermodynamics, and applicable for instance to generic momentum-conserving one-dimensional systems. Bilinear charges are interpreted as covariant derivatives on the manifold of maximal entropy states, and represent the contribution to diffusion from scattering of ballistic waves. An analysis of fractionally extensive charges, combined with clustering properties from the superdiffusion phenomenology, gives lower bounds for superdiffusion exponents. These bounds reproduce the predictions of nonlinear fluctuating hydrodynamics, including the Kardar-Parisi-Zhang exponent 2/3 for sound-like modes, the Levy-distribution exponent 3/5 for heat-like modes, and the full Fibonacci sequence.

研究の動機と目的

• Eulerスケールを超えて1次元多体系における拡散的および超拡散的輸送を特徴付けるモデルに依存しないフレームワークの構築。
• 保存量の拡張性の違いに基づくヒルベルト空間構造を用いて、流体力学的射影をより細かい流体力学的スケールへ一般化すること。
• 保存密度および電流の熱力学的平均から、拡散および超拡散指数の厳密で計算可能な下界を導出すること。
• 双線形および分数的拡張性を持つ保存量が流体力学的相関およびクラスタリング性とどのように関係するかを明らかにし、普遍的輸送指数を導出すること。

提案手法

• 空間時間並進不変性および観測量のクラスタリング性を用いて、Gelfand-Naimark-Segal構成に類似した流体力学的還元によるヒルベルト空間の構築。
• 線形的、二次的、および分数的拡張性を持つ保存量に基づき、それぞれ運動量保存、拡散、超拡散スケールのヒルベルト空間を定義する。
• 拡散ヒルベルト空間 $\mathcal{H}_{\rm dif}$ において、形式的射影公式を用いてオンサーガー行列を表現し、ドゥードル重みの標準的流体力学的射影を一般化する。
• 線形的拡張性を持つ保存量の二乗形式としての二次的拡張性を持つ保存量を用い、連結相関関数から拡散係数の下界を導出する。
• Lieb-Robinson型のクラスタリング仮定を3点関数に適用し、対角オンサーガー行列要素の下界を評価し、非ゼロの拡散を示唆する。
• 分数的拡張性を持つ保存量およびその空間時間不変性を分析し、相関積分のスケーリング解析を用いて超拡散指数の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流体力学的射影は、1次元系における拡散的および超拡散的輸送を記述するため、Eulerスケールを越えて拡張可能だろうか？
• RQ2 二次的拡張性を持つ保存量は、拡散輸送におけるオンサーガー行列の下界を生成する役割を果たすだろうか？
• RQ3 分数的拡張性を持つ保存量およびそのクラスタリング性は、超拡散指数をどのように制約するか？
• RQ4 Kardar-Parisi-Zhang指数 $2/3$ や他の普遍的超拡散指数は、熱力学的データおよび相関構造から厳密に導出可能だろうか？
• RQ5 双線形保存量は、最大エントロピー状態の多様体上の共変微分として、幾何的・代数的にどのように解釈できるか？

主な発見

• 拡散ヒルベルト空間 $\mathcal{H}_{\rm dif}$ は、ドゥードル重みのための標準的流体力学的射影に類似した、形式的に厳密なオンサーガー行列の射影公式を提供する。
• 二次的拡張性を持つ保存量、特に線形的拡張性を持つ保存量の二乗形式としての双線形式は、保存密度および電流の熱力学的平均から計算可能な、一般的な拡散係数の下界を生成する。
• Lieb-Robinson型のクラスタリング仮定のもとで、電流 $\mathcal{j}_k$ の対角オンサーガー行列要素は、特定の連結3点関数がゼロでない限り、厳密に正または無限大であることが示され、非ゼロの拡散を示唆する。
• 超拡散指数 $\alpha$ は $2/3$ 以上に下界されることが示され、これはKardar-Parisi-Zhang普遍性クラスと一致する。これはヒルベルト空間フレームワークにおける相関積分のスケーリング解析から得られる。
• 分数的拡張性を持つ保存量とクラスタリング仮定を組み合わせることで、超拡散指数のフルなフィボナッチ数列および熱的モードの $3/5$ Lévy分布指数を再現する。
• 双線形保存量 $Q_{II;n} = (1 - \mathbb{P}_\tau)(1 - \mathbb{P}_\iota)\left[\int_{-n}^n \mathcal{q}_I(x)\,dx\right]^2$ は、$\alpha' > \alpha$ の条件下で空間時間不変性条件を満たす列を生成し、$\alpha$ に対する $2/3$ の下界の導出を可能にする。