[論文レビュー] Diffusion approximations via Stein's method and time changes

Mikołaj J. Kasprzak|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、時刻変更された確率過程の収束速度を評価するためのシュタインの方法を拡張し、特にスケーリングされた時刻変更付きランダムウォークが時刻変更付きブラウン運動に収束することを示している。この枠組みを用いて、突然変異を含むモランモデルと突然変異を含むワイズ・ファーマー・ドリフト過程との間の距離を評価し、関数的シュタイン方程式と時刻変更技術を用いて定量的な収束速度を確立している。

ABSTRACT

We extend the ideas of (Barbour 1990) and use Stein's method to obtain a bound on the distance between a scaled time-changed random walk and a time-changed Brownian Motion. We then apply this result to bound the distance between a time-changed compensated scaled Poisson process and a time-changed Brownian Motion. This allows us to bound the distance between a process whose dynamics resemble those of the Moran model with mutation and a process whose dynamics resemble those of the Wright-Fisher diffusion with mutation upon noting that the former may be expressed as a difference of two time-changed Poisson processes and the diffusive part of the latter may be expressed as a time-changed Brownian Motion. The method is applicable to a much wider class of examples satisfying the Stroock-Varadhan theory of diffusion approximation.

研究の動機と目的

• 時刻変更された過程の近似のための関数的シュタインの方法の枠組みを構築すること。
• スケーリングされた時刻変更付きランダムウォークと時刻変更付きブラウン運動との間の距離を評価すること。
• この方法を突然変異を含むモランモデルに適用し、突然変異を含むワイズ・ファーマー・ドリフト過程による近似を行うこと。
• シュタインの方法を用いて定量的バインディングを導くことで、ストルック＝ヴァラダハンの拡散近似理論を関数的収束の観点から拡張すること。

提案手法

• 時刻変更された過程のためのシュタイン方程式を解くことで、シュタインの方法を関数的収束に適応する。
• 時刻変更の表現を用いて、離散時間過程（例：ポアソン過程）と連続時間の拡散過程を結びつける。
• シュタイン方程式の解に対するバインディングを用いて、時刻変更付きランダムウォークの分布と時刻変更付きブラウン運動との間の距離を制御する。
• カップリングとモーメントバインディングを用いて、シュタイン作用素が解関数に作用したときの期待値を推定する。
• 時刻変更付き2つのポアソン過程の差を用いてモラン過程をモデル化するための枠組みを適用する。
• ワイズ・ファーマー・ドリフト過程の拡散的成分が時刻変更付きブラウン運動として表現可能であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュタインの方法は、時刻変更された過程の関数的収束に拡張可能か？
• RQ2 スケーリングされた時刻変更付きランダムウォークと時刻変更付きブラウン運動との間の収束速度は何か？
• RQ3 この方法を用いて、突然変異を含むモランモデルと突然変異を含むワイズ・ファーマー・ドリフト過程との間の距離を評価できるか？
• RQ4 シュタインの方法を用いて定量的バインディングを導くことで、ストルック＝ヴァラダハンの拡散近似理論を強化できるか？

主な発見

• シュタインの方法を用いて、スケーリングされた時刻変更付きランダムウォークと時刻変更付きブラウン運動との間の距離に対するバインディングが確立された。
• この方法により、時刻変更付き補正済みポアソン過程と時刻変更付きブラウン運動との間の距離に対する定量的バインディングが得られた。
• モランモデルと突然変異を含むワイズ・ファーマー・ドリフト過程との間の収束速度が、この枠組みによってバインディングされた。
• この枠組みは、ストルック＝ヴァラダハンの拡散近似のための条件を満たす広範なクラスの過程に適用可能である。
• このアプローチは時刻変更に対してロバストであり、時刻変更関数と過程のパラメータの観点から明示的な誤差バインディングを可能にする。
• この方法により、古典的な弱収束を越えた関数的収束バインディングが得られ、遺伝的集団モデルの近似に対する収束速度が提供された。