[論文レビュー] Diffusion, Convection and Erosion on SE(3)/({0} imes SO(2)) and their Application to the Enhancement of Crossing Fibers

Remco Duits, Eric Creusen+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2011

Advanced Neuroimaging Techniques and Applications参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、3次元の位置と方向をモデル化するため、$\mathbb{R}^3\rtimes S^2$ 上の左不変拡散およびハミルトニアン・ジャコビ（エロージョン）過程を導入し、高方向分解能拡散画像法（HARDI）における交差する線維の強調を向上させる。部分リーマン幾何学と $SE(3)$ 上のカルタン接続を活用することで、有限差分法および畳み込みを用いて解かれる不変PDEを通じて、交差を保持する線維強調が可能となり、脳MRIにおける線維追跡が顕著に改善される。

ABSTRACT

In this article we study both left-invariant (convection-)diffusions and left-invariant Hamilton-Jacobi equations on the space SE(3)/({0} imes SO(2)) of 3D-positions and orientations naturally embedded in the group SE(3) of 3D-rigid body movements. The general motivation for these (convection-)diffusions and erosions is to obtain crossing-preserving fiber enhancement on probability densities defined on the space of positions and orientations. The linear left-invariant (convection-)diffusions are forward Kolmogorov equations of Brownian motions on SE(3)/({0} imesSO(2)) and can be solved by convolution with the corresponding Green's functions or by a finite difference scheme. The left-invariant Hamilton-Jacobi equations are Bellman equations of cost processes on SE(3)/({0} imesSO(2)) and they are solved by a morphological convolution with the corresponding Green's functions. Furthermore, we consider pseudo-linear scale spaces on the space of positions and orientations that combines dilation and diffusion in a single evolution. In our design and analysis for appropriate linear, non-linear, morphological and pseudo-linear scale spaces on SE(3)/({0} imesSO(2)) we employ the underlying differential geometry on SE(3), where the frame of left-invariant vector fields serves as a moving frame of reference. Furthermore, we will present new and simpler finite difference schemes for our diffusions, which are clear improvements of our previous finite difference schemes. We apply our theory to the enhancement of fibres in magnetic resonance imaging (MRI) techniques for imaging water diffusion processes in brain white matter. We provide experiments of our crossing-preserving evolutions on neural images of a human brain containing crossing fibers.

研究の動機と目的

• 医療画像における線維強調の向上を目的として、3次元の位置と方向の空間（$\mathbb{R}^3\rtimes S^2$）における不変拡散および形態的プロセスの開発。
• リー群幾何学を用いて方向依存の信号伝播をモデル化することで、拡散MRIにおける交差線維の保持という課題に取り組む。
• $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$ 上の左不変PDEを解くための安定的で効率的な有限差分スキームの設計。
• $SE(3)$ を根拠とする共通の幾何的枠組みを通じて、線形、非線形、擬線形スケール空間を統合する。
• 提案されたフレームワークを実際のHARDIおよびDTIデータに適用し、ヒト脳画像における線維追跡の改善を実証する。

提案手法

• $SE(3) = \mathbb{R}^3\rtimes SO(3)$ 上の左不変ベクトル場を移動フレームとして用い、$\mathbb{R}^3\rtimes S^2$ 上の内在的微分作用素を定義する。
• 線形の対流拡散過程は、$\mathbb{R}^3\rtimes S^2$ 上の前向きコルモゴロフ方程式としてモデル化され、グリーン関数との$\mathbb{R}^3\rtimes S^2$ 畳み込みまたは有限差分法によって解かれる。
• 非線形エロージョンは、左不変ハミルトニアン・ジャコビ方程式（ベルマン方程式）としてモデル化され、グリーン関数を用いた形態的畳み込みによって解かれる。
• 擬線形スケール空間は、群多様体上でのハイブリッドフレームワークを用いて、拡散とエロージョンを1つの発展過程に統合する。
• $SE(3)$ 上の基本的なカルタン接続と測地線を用いて、数値スキームの解析的近似および安定性バウンドを導出する。
• 角度および空間的刻み幅行列を用いた有限差分スキームを設計し、群構造から導かれるステップサイズの制限によって安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$ 上に左不変拡散およびエロージョンプロセスをどのように定義すれば、拡散MRIにおける交差線維を保持できるか？
• RQ2 カルタン接続と部分リーマン幾何学が、$SE(3)$ 上での不変PDEを用いた線維強調を可能にする役割は何か？
• RQ3 $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$ 上の有限差分スキームは、従来の実装と比較して安定性および精度でどのように異なるか？
• RQ4 擬線形スケール空間は、拡散および形態的演算を効果的に統合し、線維追跡の向上に寄与できるか？
• RQ5 提案手法は、複雑な交差構造を有するHARDI画像において、線維検出をどの程度向上させるか？

主な発見

• 提案された左不変拡散およびエロージョンプロセスは、合成的および実データにおけるHARDIにおいて交差線維を効果的に保持し、標準的な等方的手法を上回る性能を示した。
• $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$ 上の有限差分スキームは、従来の実装よりも安定性および精度に優れており、導出された安定性バウンドにより収束性が保証された。
• $SE(3)$ を基盤とする幾何学的アプローチにより、方向空間における測地線パスおよび曲率効果の正確なモデル化が可能となり、線維追跡にとって不可欠である。
• $\mathbb{R}^3\rtimes S^2$ 上のコスト過程のグリーン関数に対する解析的推定が導出され、効率的な数値実装を支援した。
• ヒト脳MRIに対する実験では、適応的かつ左不変な発展が、従来の手法と比較して、複雑な線維交差をより高精度に検出・強調した。
• 時間積分核のハイゼンベルク近似により、局所的解析およびカーネル近似が効率化され、計算スケーラビリティが向上した。