[論文レビュー] Diffusion covariation and co-jumps in bidimensional asset price processes with stochastic volatility and infinite activity Levy jumps

Fabio Gobbi, Cecilia Mancini|arXiv (Cornell University)|May 9, 2007

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率的ボラティリティと無限活性Lévyジャンプを伴う2次元の資産価格過程において、拡散共分散と共通ジャンプを一貫して分離するためのしきい値ベースの推定器を提案する。離散的な高頻度データを用いて、大きな増分を特定して共通ジャンプを検出する手法を構築し、拡散共分散推定器の収束速度が一般の無限活性設定では成立せず、中程度のジャンプ活動下でのみ √h に限定して成立することを示している。

ABSTRACT

In this paper we consider two processes driven by diffusions and jumps. The jump components are Levy processes and they can both have finite activity and infinite activity. Given discrete observations we estimate the covariation between the two diffusion parts and the co-jumps. The detection of the co-jumps allows to gain insight in the dependence structure of the jump components and has important applications in finance. Our estimators are based on a threshold principle allowing to isolate the jumps. This work follows Gobbi and Mancini (2006) where the asymptotic normality for the estimator of the covariation, with convergence speed given by the squared root of h, was obtained when the jump components have finite activity. Here we show that the speed is the squared root of h only when the activity of the jump components is moderate.

研究の動機と目的

• 拡散とジャンプによって駆動される2つの資産価格過程間の連続的共分散を、共通ジャンプから分離して推定すること。
• 高頻度観測を用いてジャンプを分離する一貫性のあるしきい値ベースの推定器を開発すること。
• ジャンプ成分が無限活性である場合の拡散共分散推定器の漸近的収束速度を特定すること。
• 安定的類似Lévyジャンプ分布とコプーラ依存構造の下での推定器の漸近正規性を分析すること。
• 従来の有限活性ジャンプの研究を、より複雑な一般の依存構造を有する無限活性Lévy過程に拡張すること。

提案手法

• 観測された価格変動の増分の大きさに基づき、事前に定めたサイズを超えるジャンプが発生する区間を特定するためのしきい値基準を用いる。
• 切断された実現 quadratic 共分散推定器を適用する：$\tilde{v}^{(n)}_{1,1}(X^{(1)},X^{(2)})_{T} = \sum_{j=1}^{n} \Delta_j X^{(1)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(1)})^2 \leq r(h) \}} \Delta_j X^{(2)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(2)})^2 \leq r(h) \}} $。この式は、ジャンプに起因すると考えられる大きな増分を除外する。
• ジャンプ成分を有限活性ジャンプ $J_1^{(q)}$ と無限活性Lévy成分 $\tilde{J}_2^{(q)}$ に分解し、安定的類似の尾部挙動を仮定する。
• コプーラモデリングを用いて特定の依存構造仮定の下で、Lindeberg-Feller中心極限定理の枠組みを用いて推定器の漸近正規性を確立する。
• サンプリング周波数が増加する（$h \to 0$）際のジャンプ増分の高次モーメントおよび尾部確率の挙動を分析することで収束速度を導出する。
• モーメントの上限と漸近的展開を用いて、無限活性下でも推定器が一貫性を保つことを示すが、収束速度 $\sqrt{h}$ はジャンプ活動が中程度である場合にのみ成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプ成分が無限活性である場合、拡散共分散のしきい値推定器の収束速度はどのようになるか？
• RQ2 コプーラを用いてモデル化された共通ジャンプの依存構造が、推定器の漸近分布にどのように影響を与えるか？
• RQ3 無限活性Lévyジャンプが存在する状況下でも、しきい値ベースの手法が拡散共分散と共通ジャンプを一貫して分離できるか？
• RQ4 安定的類似の分布や尾部挙動（例：安定的法則）の下で、推定器が漸近正規性を達成する条件は何か？
• RQ5 無限活性Lévyジャンプの導入は、有限活性の場合と比較して、実現共分散推定器のバイアスと分散にどのような影響を与えるか？

主な発見

• しきい値推定器 $\tilde{v}^{(n)}_{1,1}$ は、無限活性Lévyジャンプを含む一般の条件下でも、統合された拡散共分散 $\int_0^T \rho_t \sigma_t^{(1)} \sigma_t^{(2)} dt$ に対して一貫性を示す。
• 推定器の収束速度が $\sqrt{h}$ に限定されるのは、ジャンプ活動が中程度のときのみであり、一般の無限活性設定では、尾部指数 $\alpha_1, \alpha_2$ に応じて速度が遅くなる可能性がある。
• 無限活性Lévy成分 $\tilde{J}_2^{(q)}$ が安定的類似の法則に従い、同時依存構造が与えられたクラスのコプーラによって支配されるという仮定の下で、推定器の漸近正規性が確立された。
• Lindeberg条件は、$h \to 0$ の際にジャンプ増分項における大きな逸脱の確率が消えることにより、確認された。これにより正規性への収束が保証される。
• 大きな増分を除外することで、共通ジャンプを効果的に分離し、標準的な実現共分散と比較して推定のバイアスを低減した。
• 理論的結果により、無限活性ジャンプ成分が推定誤差に与える寄与が、安定指数 $\alpha_1, \alpha_2$ およびサンプリング周波数 $h$ に依存するレートで減少することが示された。